ラマヌジャンの問題「２^n−７＝ｘ^2の整数解を求めよ」について，ｎ＝１０^40までコンピュータ検索したが，ラマヌジャン自身が示した解

　　ｎ＝３，４，５，７，１５

以外の解を発見することはできなかったという．最近，この５組以外の解はないことが証明された．証明はかなり難しいらしい．

ここでは、２^n−２^m＝ｘ^2を扱うことにする。

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　　α＝（2^m/2＋√−2^m）／２,mは偶数

とおく．

　　α＋α~＝2^(m/2)，αα~＝2^m-1＝｜α｜^2

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　　α^k＝（ａk＋ｂk√−2^m）／２

　　α~^k＝（ａk-ｂk√−2^m）／２

｜α^k｜^2=(ａk^2＋2^mｂk^2)/4

によって，有理数ａk，ｂkを定めれば

　　ａk^2＋2^mｂk^2＝4｜α^k｜^2＝4・2^k(m-1)＝2^(km-k+2) 2

　したがって，「２^n−2^m＝ｘ^2の整数解を求めよ」に対しては，

　　ｂk＝±１,n=km-k+2

が対応する．

　定義より

　　ｂk＝（α^k−α~^k）／√−2^m

ここで，

　　α^k+2−α~^k+2＝（α＋α~）（α^k+1−α~^k+1）−αα~（α^k−α~^k）

より，漸化式

　　ｂk+2＝2^(m/2)ｂk+1−2^(m-1)ｂk，ｂ0＝０，ｂ1＝１

が得られる．

ｋ：０，１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０，１１，１２，１３

ｂk：０，１，2^(m/2),2^(m-1)，0,-2^(2m-2)

　ｂk＝±１となるのは、ｋ＝1，?（もう一つのｋがわからない）

x^2+2^m=2^(m+1)

x=2^(m/2)

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