ラマヌジャンの問題「２^n−７＝ｘ^2の整数解を求めよ」について，ｎ＝１０^40までコンピュータ検索したが，ラマヌジャン自身が示した解

　　ｎ＝３，４，５，７，１５

以外の解を発見することはできなかったという．最近，この５組以外の解はないことが証明された．証明はかなり難しいらしい．

ここでは、２^n−２３＝ｘ^2を扱うことにする。

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　　α＝（3＋√−23）／２

とおく．

　　α＋α~＝3，αα~＝8＝｜α｜^2

　　α^k＝（ａk＋ｂk√−23）／２

　　α~^k＝（ａk-ｂk√−23）／２

｜α^k｜^2=(ａk^2＋23ｂk^2)/4

によって，有理数ａk，ｂkを定めれば

　　ａk^2＋23ｂk^2＝4｜α^k｜^2＝4・8^k＝2^(3k+2) 2

　したがって，「２^n−23＝ｘ^2の整数解を求めよ」に対しては，

　　ｂk＝±１,n=3k+2

が対応する．

　定義より

　　ｂk＝（α^k−α~^k）／√−23

ここで，

　　α^k+2−α~^k+2＝（α＋α~）（α^k+1−α~^k+1）−αα~（α^k−α~^k）

より，漸化式

　　ｂk+2＝3ｂk+1−8ｂk，ｂ0＝０，ｂ1＝１

が得られる．

ｋ：０，１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０，１１，１２，１３

ｂk：０，１，3，１，−21，−71

　ｂk＝±１となるのは、ｋ＝1，3→n=5,11 x^2+23=32,2043

　　（ｘ，ｎ）＝（3，5）（45，11）

すなわち，ｎ＝5,11の2組が得られる．

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