［Ｑ］ｓに関する３次方程式

　　ｓ^3＋ｘｓ^2＋ｙｓ＋１＝０

が１つの実数解と１組の重根をもつ範囲を図示せよ．

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［Ａ］解は４x^3＋４ｙ^3−ｘ^2ｙ^2−１８ｘｙ＋２７＝０のグラフを描けという問題に言い換えることができる．

　高次代数方程式がうまく媒介変数表示できるのは，きわめて特殊な例外的な場合にに限られます．しかしながら，この場合，

　　ｘ＝１／ｔ^2−２ｔ，ｙ＝ｔ^2−２／ｔ

のような媒介変数表示が可能です．

　確かめてみましょう．

　　ｘ＋ｙ＝（ｔ^2＋１／ｔ^2）−２（ｔ＋１／ｔ）

　　ｘｙ＝５−２（ｔ^3＋１／ｔ^3）

　Ｔ＝（ｔ＋１／ｔ）とおいてもよいが

　　ｘ^3＋ｙ^3＝（ｔ^6＋１／ｔ^6）−１４（ｔ^3＋１／ｔ^3）＋２４

　　ｘ^2ｙ^2＝４（ｔ^6＋１／ｔ^6）−２０（ｔ^3＋１／ｔ^3）＋３３

より，

　　４（ｘ^3＋ｙ^3）−ｘ^2ｙ^2＝−３６（ｔ^3＋１／ｔ^3）＋６３

＝１８ｘｙ−２７

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［１］３次曲線のパラメータ表示例

　デカルトの正葉線ｘ^3−３ａｘｙ＋ｙ^3＝０（ａ＞０）では，ｙ／ｘ＝ｔ，すなわちｙ＝ｔｘとおくことによってパラメータ表示の形に書くことができます．

　　ｘ＝３ａｔ／（１＋ｔ^3），ｙ＝３ａｔ^2／（１＋ｔ^3）

この３次曲線は重根をもち，原点（０，０）が特異点になります．

　しかし，このままではｔとの対応が悪く

　　ｘ＝３ａ（１−ｔ）（１−ｔ^2）／２（１＋３ｔ^3），

　　ｘ＝３ａ（１＋ｔ）（１−ｔ^2）／２（１＋３ｔ^3），

の方がきれいに描くことができます．

　同様に，特異点をもつｙ^2＝ｘ^3やｙ^2＝ｘ^2（ｘ＋１）は楕円曲線ではありません．前者は（ｔ^3，ｔ^2），後者は（ｔ^2−１，ｔ（ｔ^2−１））とパラメトライズできます．

［２］４次曲線のパラメータ表示例

　レムニスケートは

　　ｘ＝ｔ（ｔ^2＋１）／（１＋ｔ^4）

　　ｙ＝−ｔ（ｔ^2−１）／（１＋ｔ^4）

のようにパラメトライズすることができます．

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