【２】重五角錐の開口関数

　重五角錐に１本の切れ込みを入れると，口の開いた重五角錐が得られる．以下の写真は，その高さを減らすように押しつぶすと口の部分が開くというモデルであり，口の開いた重五角錐を２つ作り，両者を口の部分で直角に繋げたものが冒頭の写真である．

　一方の開口重五角錐の高さｈから開口の大きさｗを求める．式はピタゴラスの定理から簡単に求められ，

　　ｗ＝ｆ（ｈ）＝（４−ｈ^2）^1/2ｓｉｎ（５ａｒｃｔａｎ（３−ｈ^2）^-1/2）

　これは他方の開口重五角錐の高さとなるから，

　　ｈ＝ｇ（ｗ）＝（４−ｗ^2）^1/2ｓｉｎ（５ａｒｃｔａｎ（３−ｗ^2）^-1/2）

　ここで，２つの開口重五角錐が歪みなしに接合できるための条件は

　　ｈ＝ｇ（ｆ（ｈ））　　　ｈ：０〜１．０５１４６

である．畏友・阪本ひろむ氏にｇ（ｆ（ｈ））のテイラー級数を計算してもらったところ，

　　ｇ（ｆ（ｈ））＝．１２８３＋１．７４８０９ｈ^2−１．４１０９７ｈ^4＋．４８８９３５ｈ^6＋．０００３０９５３５ｈ^8−．２４８２３９ｈ^10＋．３０５３２９ｈ^12−．２８７３１５ｈ^14＋・・・

となった．

　ｙ＝ｘ，ｙ＝ｇ（ｆ（ｘ））のグラフを描いてみると，交点が３箇所あることがわかる．大雑把に数値計算してみると，

　　ｘ＝０．１４２４，ｘ＝０．６５４５，ｘ＝０．９８４７

が近似解となる．

　これらは不連続であるから体積が連続した値を取りながら変わっていくことはないし，連続的に変えていくには面を曲げたり歪めたりする必要があることを意味している．

　同じ長さの辺をもつ体積の異なる多面体の例として，屋根（あるいは床）付きのダンボール箱があげられる．出っ張った屋根を中に押し込めば辺の長さは変わらないのに体積はかなり小さくなる．これは２つの安定した形状をとる多面体の例として日常的によく見られるものである．

　それに対して，デルタ２０面体は３つの安定した形状をとる多面体となっている．すなわち，A-11さんの主張はまったく正しく「変形するデルタ２０多面体」は「折り曲げ可能多面体」ではないのである．

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【３】デルタ２０面体の体積

　ゴールドバーグのデルタ２０面体の設計では，合同な４面体１０個の組み合わせでデルタ２０面体ができあがるようにみえるが，いざ作ってみると，１０個の表面は繋がるのだが，あいだに空洞ができてしまうのである．中央に第１１の四面体が必要で，第１１の四面体で空洞を埋めると，デルタ２０面体ができあがる（１０＋１）．

　１１個の四面体の辺の長さは１とｈで，１０個の四面体は１^5ｈで構成されるが，第１１の四面体は１^4ｈ^2である．１０個の四面体は長さｈの辺に１の辺が，第１１の四面体は長さｈの辺に長さｈ辺が対向して直交する四面体であるから，それぞれの体積はオイラーの公式より

　　ａ＝ｈ，ｂ＝１，ｃ＝１，ｄ＝１，ｅ＝１，ｆ＝１

　　ｖ＝（ｈ^2（３−ｈ^2））^1/2／６

　　ａ＝ｈ，ｂ＝１，ｃ＝１，ｄ＝ｈ，ｅ＝１，ｆ＝１

　　ｖ＝（ｈ^4（４−２ｈ^2））^1/2／６

となる．

　したがって，

　　Ｖ＝｛１０（ｈ^2（３−ｈ^2））^1/2＋（ｈ^4（４−２ｈ^2））^1/2｝／６

　　ｈ＝０．１４２３７０　→　Ｖ＝０．０００６７２

　　ｈ＝０．６５４５３３　→　Ｖ＝０．１２６５８９

　　ｈ＝０．９８４７４７　→　Ｖ＝０．２３２００１

ゴールドバーグのデルタ２０面体の体積はこの変形を通じて一定ではないのである．

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