2通りの計算で体積は一致した。

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頂角41.4°として計算する

a=1, b=b,c=1,d=1,e=w,f=1

　　（１２Δ）^2＝ｂ^2w^2（4−ｂ^2−w^2）→6Δ

a=1, b=w,c=1,d=1,e=w,f=1

　　（１２Δ）^2＝w^4(4-2w^2)→Δ

v=.613747

4πr^3/3=1.48016

体積比0.414648・・・重六角錐0.413497より大きい

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a=1, b=b,c=1,d=r,e=r,f=r

　　（１２Δ）^2＝4r^2ｂ^2-b^4r^2-b^2

一方、球の体積は4πr^3/3

　　（１２Δ）^2＝r^2（ｂ^2）

　　　　　　　　　＋ｂ^2r^2（2-b^2）

　　　　　　　　　＋r^2（ｂ^2）

　　　　　　　−ｂ^2

頂角41.4°として計算する

v=.612026・・・誤差はあるが正しい答えになっている

4πr^3/3=1.48016

となると、以下の計算には間違いないことになる。

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【３】デルタ２０面体の体積

　ゴールドバーグのデルタ２０面体の設計では，合同な４面体１０個の組み合わせでデルタ２０面体ができあがるようにみえるが，いざ作ってみると，１０個の表面は繋がるのだが，あいだに空洞ができてしまうのである．中央に第１１の四面体が必要で，第１１の四面体で空洞を埋めると，デルタ２０面体ができあがる（１０＋１）．

　１１個の四面体の辺の長さは１とｈで，１０個の四面体は１^5ｈで構成されるが，第１１の四面体は１^4ｈ^2である．１０個の四面体は長さｈの辺に１の辺が，第１１の四面体は長さｈの辺に長さｈ辺が対向して直交する四面体であるから，それぞれの体積はオイラーの公式より

　　ａ＝ｈ，ｂ＝１，ｃ＝１，ｄ＝１，ｅ＝１，ｆ＝１

　　ｖ＝（ｈ^2（３−ｈ^2））^1/2／６

　　ａ＝ｈ，ｂ＝１，ｃ＝１，ｄ＝ｈ，ｅ＝１，ｆ＝１

　　ｖ＝（ｈ^4（４−２ｈ^2））^1/2／６

となる．

　したがって，

　　Ｖ＝｛１０（ｈ^2（３−ｈ^2））^1/2＋（ｈ^4（４−２ｈ^2））^1/2｝／６

　　ｈ＝０．１４２３７０　→　Ｖ＝０．０００６７２

　　ｈ＝０．６５４５３３　→　Ｖ＝０．１２６５８９

　　ｈ＝０．９８４７４７　→　Ｖ＝０．２３２００１

ゴールドバーグのデルタ２０面体の体積はこの変形を通じて一定ではないのである．

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