数を１０進表示し各桁の「3乗」を加える操作を続けると、どうなるのだろうか？

10までのかずで調べてみると　

1(1に到達)

2→8→64→280→520→133→55→250→133となってサイクルに入る

3→27→351→153→351となってサイクルに入る

4→64→631→244→136→631となってサイクルに入る

5→125→134→92→85→637→1098→1242→81→513→153→513となってサイクルに入る

6→216→225→141→66→432→99→1458→702→351→153→351となってサイクルに入る

7→343→118→514→190→730→370→730となってサイクルに入る

8→512→134→→92→85→637→1098→1242→81→513→153→513となってサイクルに入る

9→729→1074→408→576→1260→225→141→66→432→99→1458→702→351→153→351となってサイクルに入る

10→1→1(1に到達)

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x=0,1,2,3,4,5,6,7,8 (mod9)

x^2=0,1,-1,0,1,-1,0,1,-1 (mod9)

もし元の数が3桁100x+10y+zであるならば、

x^3+y^3+z^3=0,1,2,3,6,7,8 (mod8)

もしこれが１桁に退化するならば4,5を表すことができないことになる

しかしその場合でもサイクルに入ることがわかっている。

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２乗ハッピー数{1,7,10,13,19,23,28,31,32,44,49,68,70,79,82,86,91,94,97,100,,,,}に対して

３乗ハッピー数は{0,10,100,112,121,211,778,,,,}などきわめて少なく

x=0 (mod3)→153に収束

x=2 (mod3)→371または407に収束

x=1 (mod3)→370に収束、または(55,250,133),(160,217,352),(919,1459),(136,244)のサイクル、または１に収束

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