面の形は変わらずに二面角が変わる連続的な運動を「多面体の折り曲げ」という．１８１３年，コーシーはどんな凸多面体でも折り曲げ不可能なことを証明した（剛性定理）．１８９７年，ブリカールは折り曲げ可能な閉多面体が存在することを証明し，とくに折り曲げ可能８面体については３型に分類されることを述べている．

　形状が変わる凹多面体をはじめてみつけたのはブリカールだが，その多面体では面同士が互いに貫通した自己交差をもつものであった．そのため，面を取り除き，辺を針金細工にしなければ実際に作ることはできなかった．

　形状の変わる性質を保ったまま面同士が貫通しないもの（すなわち３次元空間に埋め込まれたもの）を見つけたのは１９７０年代のコネリーで，１９７８年にはシュテッフェンにより９つの頂点と１４の三角形面からなる最も単純な折り曲げ可能多面体が考案されている（それでもなおシュテッフェン多面体の体積に対する多項式をパソコンで求めることはできないという）．

　コラム「変形する多面体とふいご予想」に掲げたデルタ２０面体の写真を最掲する．２個の重五角錐が直角に交わったようなデルタ２０面体は，一方の重五角錐を押しつぶすともう一方の重五角錐が膨らむ「変形するデルタ多面体」と書いたところ，A-11さんより疑義のメールを頂いた．

　今回のコラムではA-11さんの結果を追試してみることにするが，結論を先にいうと，変形するデルタ２０面体は面の形を変えずに連続的に変形するという多面体ではなくて，３つの安定した形状をとるという多面体という意味であって，安定した形状から別の安定した形状への移行中には面は微かに曲がらなければならないというのが正しい理解のようである．

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【１】重五角錐の高さ

　ここでは，１辺の長さを１とする重五角錐の高さｈを求めてみることにする．ピタゴラスの定理を使えば中高生でも簡単に確かめることができると思われるが，

　　１／（３−ｈ^2）^(1/2)＝ｔａｎ３６°＝（５−２√５）^(1/2)

より

　　ｈ＝１．０５１４６

となった．

　ところで，正四面体の二面角は

　　ｃｏｓθ＝１／３　→　θ＝７０．５２８８°＜７２°

であるから，同じ大きさの正四面体を互いに１つの稜の周りに集めるとき，最大５個の正四面体を集めることができる．このことからも，ｈ＞１となることが予測できる．もしデルタ２０面体が連続的に変形可能な多面体であるならば，ｈ＞１より一方の重五角錐を完全に押しつぶすことができることもわかるだろう．

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