【２】メディアル多面体

（Ｑ）等周比の点からいえば，５種の正多面体では正４面体が最も球に遠く，正２０面体が最も球に近いことになります．それでは，ｆ個の面をもつ多面体の中で等周比の最小値を与えるものは何でしょうか？

（Ａ）答えはｆ＝４，６，１２ではプラトンの正多面体，すなわち，正四面体，立方体，正十二面体が最小値をとります．しかし，ｆ＝８で等周比の最小値をあたえるものは正八面体ではありません．

　フェイェシュ・トートの「配置の問題−平面・球面・空間における−」みすず書房にはｆ＝８で等周比の最小値をあたえるものはアルキメデスの反プリズムとあったと記憶しているのですが，マイケル・ゴールドバーグの論文：

　　M. Goldberg: The isoperimetric problem for polyhedra, Tohoku Math. J. 40, 226-236(1935)

には四角形４枚，五角形４枚からなるメディアル多面体（４^4５^4）が極値を与えることが紹介されています．

　　　　　　　　　　等周比

　　正八面体　　　　１８７．０６

　　六角柱　　　　　１８７．０６

　　歪重角錐　　　　１８１．５５

　　４^4５^4　　　　１８０．２３

　　Ｓ^3／Ｖ^2≧５４（ｆ−２）ｔａｎ（ωf）（４ｓｉｎ^2（ωf）−１）＝１７７．４５

　同様にｆ＝２０も未解決のまま残っていますが，五角形１２枚，六角形８枚からなるメディアル多面体（５^12６^8）が極値を与えることが紹介されています．

　　　　　　　　　　等周比

　　正二十面体　　　１３６．４６

　　５^12６^8 　　　１３３．３１

　　Ｓ^3／Ｖ^2≧５４（ｆ−２）ｔａｎ（ωf）（４ｓｉｎ^2（ωf）−１）＝１３２．８７

　これらのことからゴールドバーグは最小値はメディアル多面体（どの面も［６−１２／ｆ］角形または［６−１２／ｆ］＋１角形）のとき達成されると予想しました．ｆ≧１２のとき，メディアル多面体の構成は５^12６^(f-12)になります．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［補］アルキメデスの正角柱（Archimedean prism：上下の底面が正多角形で，側面がすべて正方形であるもの）に対して，アルキメデスの反角柱（Archimedean antiprism）とはアルキメデスの正角柱を少しひねって，側面をすべて正三角形にしたものです．

　また，元の立体の頂点の数と面の数を互いに入れ替えた立体を双対多面体といいます．正多面体の双対は正多面体ですが，アルキメデスの立体はアルキメデス双対で，たとえば，菱形十二面体の双対多面体は立方八面体です．また，正角柱の双対は重角錐（dipyramid），反角柱の双対はねじれ重角錐（trapezo-hedron）となります．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝