同じ大きさの球に内接する正１２面体と正２０面体とでは，正１２面体の方が体積Ｖも表面積Ｓも大きい．−−−そんなばかなと思われるかもしれませんが，直感に反して，正１２面体は球の６６．５％，正２０面体は球の６０．６％を占めるのです．したがって，正多面体を球に内接させたとき最も球に近い正多面体は正１２面体です．一方，外接させれば体積も表面積も正２０面体の方が球に近くなります．

　このように三次元の問題はなかなか一筋縄ではいきませんが，今回のコラムでは多面体に対する等周問題を取り上げます．

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【１】等周不等式

　任意のｎ次元の等周不等式は，

　　Ｓ^n／Ｖ^(n-1)≧ｎ^nｖn　　　（ｖnはｎ次元単位球の体積）

　　　　　　　　　＝ｎ^nπ^(n/2)/Γ(n/2+1)＝Ｃn

で表されます．

　ｎ次元等周比（Ｃn）において，とくに，ｎ＝２のときとｎ＝３のときについては，

　　Ｃ2＝４π，Ｃ3＝３６π

すなわち，

　　Ｌ^2≧４πＳ

　　Ｓ^3≧３６πＶ^2

がわかります．以下，

　　Ｃ4＝2^7π^2，Ｃ5＝8/3*5^4π^2，Ｃ6＝6^5π^3，・・・

となりますが，等周比が有理数（整数）×πの形となるのは，２次元・３次元だけのようです．

　また，凸体Ｖを囲む曲面Ｓにおいて，平均曲率は，

　　Ｈ＝１／２（１／Ｒ1＋１／Ｒ2）

で定義されます．ここで，平均曲率の積分を

　　Ｍ＝∫Ｈｄｓ

で表すと，ミンコフスキーの不等式

　　Ｓ^2−３ＶＭ≧０

　　Ｍ^2−４πＳ≧０

これから直ちに

　　Ｓ^3≧３６πＶ^2

が導かれます．

　ともあれ，３次元凸集合に対し，表面積をＳ，体積をＶとすると，

　　Ｓ^3≧３６πＶ^2

が成り立ちます．等号成立は球のときだけで，すべての立体中で球が表面積に対して最大の体積をもっています．

　多面体の等周問題は，単位球に外接する多面体では，

　　Ｖ＝Ｓ／３

となることから，

　　Ｓ^3／Ｖ^2＝９Ｓ＝２７Ｖ

が成り立ちます．したがって，与えられた面数ｎをもつ多面体に関する等周問題は，最小の体積または最小の表面積をもち，球に外接するｎ面体を定めるという問題に帰着されます．

　凸ｆ面体の表面積をＳ，体積をＶとすれば，等周不等式は，

　　Ｓ^3／Ｖ^2≧５４（ｆ−２）ｔａｎ（ωf）（４ｓｉｎ^2（ωf）−１）

　　ωf＝ｆ／（ｆ−２）・π／６　　　ｆ≧３

ただし，等号は３稜頂点多面体に対してのみ成り立つことに注意して下さい．これによって，３稜頂点多面体に対しては，正多面体（正４面体，立方体，正１２面体）が同じ面数の多面体の中でも最良となることが証明されるのです．

　一方，３角形多面体に関しては

　　Ｓ^3／Ｖ^2≧５４（ｆ−２）（３ｔａｎ^2（ωf）−１）

また，これらを包括する一般的な不等式として

　　Ｓ^3／Ｖ^2≧９ｅｓｉｎ（２π／ｐ~）（ｔａｎ^2（π／ｐ~）ｔａｎ^2（π／ｑ~）−１）であることが予想されています．

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