仮に、頂角41°として計算する

a=1, b=b,c=1,d=1,e=w,f=1

　　（１２Δ）^2＝ｂ^2w^2（4−ｂ^2−w^2）→6Δ

a=1, b=w,c=1,d=1,e=w,f=1

　　（１２Δ）^2＝w^4(4-2w^2)→Δ

v=.612326

4πr^3/3=1.44972

体積比0.422376・・・重六角錐より大きい

デルタ12面体の体積の求め方について補足しておきたい。頂角60°として計算する

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【１】デルタ１２面体の設計

　デルタ１２面体とは１２枚の正三角形からなる双子の正十二面体とも呼ばれる多面体である．まず，コラム「変形するデルタ２０面体に対する疑義」を参考にしてデルタ１２面体を設計してみることにする．

　ここでは，１辺の長さを１とする重三角錐（デルタ６面体）の高さｈを求めてみることにする．ピタゴラスの定理を使えば中高生でも簡単に確かめることができると思われるが，

　　１／（３−ｈ^2）^(1/2)＝ｔａｎ６０°＝√３

より

　　ｈ＝√（８／３）＝１．６３２９９

となった．

　重三角錐に１本の切れ込みを入れると，口の開いた重三角錐が得られる．一方の開口重三角錐の高さｈから開口の大きさｗを求める．式はピタゴラスの定理から簡単に求められ，

　　ｗ＝ｆ（ｈ）＝（４−ｈ^2）^1/2ｓｉｎ（３ａｒｃｔａｎ（３−ｈ^2）^-1/2）

　これは他方の開口重五角錐の高さとなるから，

　　ｈ＝ｇ（ｗ）＝（４−ｗ^2）^1/2ｓｉｎ（３ａｒｃｔａｎ（３−ｗ^2）^-1/2）

　ここで，２つの開口重五角錐が歪みなしに接合できるための条件は

　　ｈ＝ｇ（ｆ（ｈ））　　　ｈ：０〜１．６３２９９

である．ｙ＝ｘ，ｙ＝ｇ（ｆ（ｘ））の交点を求めてみると，

　　ｘ＝１．２８９１７

が近似解となる．

　開口重三角錐２個，すなわち，合同な４面体６個の組み合わせでデルタ１２面体ができあがる．

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【２】デルタ１２面体（Ｎ84）

　８個の頂点と１２枚の正三角形からなる分解不可能なザルガラー多面体で，双子の正十二面体とも呼ばれるデルタ多面体である．

　四面体を６個を組み合わせることにしたのだが，意外なことが判明した．６個の表面は繋がるのだが，あいだに空洞ができてしまうのである．写真中央が７個目の四面体である（６＋１）．

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　デルタ１２面体の設計では，合同な４面体６個の組み合わせでデルタ１２面体ができあがるように設計したつもりであった．いざ作ってみると，予想外のことが起こった．６個の表面は繋がるのだが，あいだに空洞ができてしまうのである．写真中央が第７の四面体である（６＋１）．　第７の四面体で空洞を埋めると，デルタ１２面体ができあがる．

　今回のコラムでは第７番目の四面体の計量を行ってみたい．短い辺（ｓ）の長さを１とすると，長い辺（ｌ）の長さは１．２８９１７９になる．また，６個の四面体は５ｓ１ｌで構成されるが，第７の四面体は４ｓ２ｌである．

　６個の四面体は長い辺に短い辺が，第７の四面体は長い辺に長い辺が対向して直交する四面体であるが，それぞれの二面角は，

　　　　　　　　　　　　　６個の四面体　　　第７の四面体

長い辺周りの二面角　　　　81.6869　　　　　　114.939

対向する辺周りの二面角　　96.1984　　　　　　114.939

その他の二面角　　　　　　60.8716　　　　　　44.6975

となる．

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