正三角形でなく二等辺三角形（頂角ｔ）からできている面数12の双子の12面体について調べてみたい

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【１】重ｎ角錐の高さ

　まず，二等辺三角形（頂角ｔ）の底辺の長さをｂ，等辺の長さを１とすると，

　　ｂ＝２ｓｉｎ（ｔ／２）

　次に，重ｎ角錐の高さｈを求めてみることにする．

　　ｂ／（４−ｂ^2−ｈ^2）^(1/2)＝ｔａｎ（π／ｎ）

より

　　ｈ^2＝−ｂ^2＋（４−ｂ^2）ｔａｎ^2（π／ｎ）

となる．

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【２】重ｎ角錐の開口関数

　重ｎ角錐に１本の切れ込みを入れると，口の開いた重四角錐が得られる．一方の開口重四角錐の高さｈから開口の大きさｗを求めると，

　　ｗ＝ｆ（ｈ）＝（４−ｈ^2）^1/2ｓｉｎ（４ａｒｃｔａｎｂ（４−ｂ^2−ｈ^2）^-1/2）

　これは他方の開口重四角錐の高さとなるから，

　　ｈ＝ｇ（ｗ）＝（４−ｗ^2）^1/2ｓｉｎ（４ａｒｃｔａｎｂ（４−ｂ^2−ｗ^2）^-1/2）

　ここで，２つの開口重ｎ角錐が歪みなしに接合できるための条件は

　　ｈ＝ｇ（ｆ（ｈ））

　　ｈ：０〜（−ｂ^2＋（４−ｂ^2）ｔａｎ^2（π／ｎ））^1/2

である．

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【３】プログラムによる検証

　　ｗ＝ｆ（ｈ）＝（４−ｈ^2）^1/2ｓｉｎ（４ａｒｃｔａｎｂ（４−ｂ^2−ｈ^2）^-1/2）

とおいて，ｙ＝ｘ，ｙ＝ｇ（ｆ（ｘ））の交点を求めてみよう．グラフを描いてみるまでもなく，以下のような簡単なプログラムで，ｎ＝３，ｔ：約１０３．５°〜１０７．５°のとき，交点が３箇所あることがわかる．

1000 PI=3.14159

1010 N=3

1020 T=105:T=T/180*PI:B=2*SIN(T/2):PRINT B

1030 '[b2t]:T=2*ATN(B/SQR(4-B*B)):T=T*180/PI:PRINT T

1040 MADE=SQR(4-B*B-B*B/TAN(PI/N)/TAN(PI/N))

1050 FOR X=0 TO MADE STEP .05

1060 Y=SQR(4-X*X)*SIN(N*ATN(B/SQR(4-B*B-X*X)))

1070 IF (4-B*B-Y*Y)<=0 THEN 1100

1080 Z=SQR(4-Y*Y)*SIN(N*ATN(B/SQR(4-B*B-Y*Y)))

1090 PRINT X,Z,X-Z

1100 NEXT X

1110 END

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w=hのとき、頂点の座標は

(b/2,0,0)

(0,w/2,z)

とおくと

(b/2)^2+z^2+(w/2)^2=1

z^2=1-(b/2)^2-(w/2)^2

(0,w/2,z)

tanθ=z/(b/2)=2z/b,tan2θ=2tanθ/{1-(tanθ)^2} =4z/b/{1-(2z/b)^2}=4z/{b^2-4z^2} (b/2,0)を通って、傾きtan(π-2θ)の直線のx=w/2の値は

z'=tan(π-2θ)(x-b/2)=-tan2θ(x-b/2)

z'=-tan2θ(w/2-b/2)=-2z(w-b)/{b^2-4z^2}

(w/2,0,z')

中心は(0,0,(z+z')/2)

(b/2,0,0)

(0,w/2,z)

(w/2,0,z')までの距離は等しくなるだろうか？

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(0,0,(z+z')/2)-(b/2,0,0)の距離

{b^2+(z+z')^2}/4=1-(w/2)^2-z^2+(z+z')^2/4

(0,0,(z+z')/2)-(0,w/2,z)の距離

(w^2+(z-z')^2)/4

(0,0,(z+z')/2)-(w/2,0,z')の距離

(w^2+(z-z')^2)/4

等しくなりそうにない

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頂角　　w=h　　 {b^2+(z+z')^2}/4　　(w^2+(z-z')^2)/4

70°　　1.16220　　　1.07248　　　　　　　0.418851

60°　　1.28529　　　0.836956　　　　　　　0.447442

50°　　1.38123　　　0.660615　　　　　　　0.488478

45°　　1.40765　　　0.564553　　　　　　　0.497686

44°　　1.41070　　　0.546131　　　　　　　0.49876

43°　　1.41285　　　0.528034　　　　　　　0.499518

42°　　1.41402　　　0.510293　　　　　　　0.499932

41°　　1.41412　　　0.492943　　　　　　　0.499968

40°　　1.41304　　　0.476013　　　　　　　0.499585　

単純なプログラムミスがあった。

数値計算誤差もあるかと思われるが、頂角41°付近の双子の12面体は球に内接することが示された。

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