任意の数の点を球面上に配置し、最大の多面体を閉じ込めたい。この問題は物理学者J.J.トムソンにちなんで「トムソン問題」と呼ばれている。 しかし、頂点が等間隔に配置されていても、その立体が最大の多面体になるとは限らない。例えば、頂点の数が8の場合、立方体は最大の多面体にならないのである。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

１辺の長さが2の立方体が球に内接しているとする。その場合、外接球の半径は√3であるから

立方体の体積/球の体積=8/(4√3π)=2/(√3π)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

１辺の長さが２の正六角形を底面とする六角錐を底面同士で合わせた重六角錐の場合は

底面積は6√3

底面は半径2の円に内接するから、球の半径は2

重六角錐の体積/球の体積=3√3/(4π)=9/(4√3π)

このほうが12.5％大きいことになり、立方体が最適でないことが証明される。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

もっと体積の大きな多面体があることが知られているが、計算に時間がかかりそうなので、次回の宿題としたい

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝