地球上の２点A,Bの球面距離を知りたい。

A(緯度A、経度A)

B(緯度B、経度B)

経度が等しければ、球面距離θは緯度A-緯度Bになるが、経度が異なる場合を考える。

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{sin(θ/2)}^2={sin(緯度A-緯度B)/2)}^2+cos(緯度A)cos(緯度B){sin(経度A-経度B)/2)}^2

経度A=経度Bであれば、θ=緯度A-緯度B

緯度A=緯度B=0のときθ=経度A-経度Bとなって正しい答えを返してくる

これを書き換えると

(1-cosθ)/2={1-cos(緯度A-緯度B)}/2+cos(緯度A)cos(緯度B){1-cos(経度A-経度B)}/2

(1-cosθ)={1-cos(緯度A-緯度B)}+cos(緯度A)cos(緯度B){1-cos(経度A-経度B)}

(cosθ)={cos(緯度A-緯度B)}-cos(緯度A)cos(緯度B){1-cos(経度A-経度B)}

経度A=経度Bであれば、θ=緯度A-緯度B

緯度A=緯度B=0のときθ=経度A-経度Bとなって正しい答えを返してくる

(cosθ)={cos(緯度A-緯度B)}-cos(緯度A)cos(緯度B){1-cos(経度A-経度B)}

(cosθ)={cos(緯度A-緯度B)}-cos(緯度A)cos(緯度B)+cos(緯度A)cos(緯度B)cos(経度A-経度B)

(cosθ)=sin(緯度A)sin(緯度B)+cos(緯度A)cos(緯度B)cos(経度A-経度B)より

(cosθ)^2={cos(緯度A)cos(緯度B)cos(経度A-経度B)+sin(緯度A)sin(緯度B)}^2

={cos(緯度A)cos(緯度B)cos(経度A-経度B)}^2+{sin(緯度A)sin(緯度B)}^2+2cos(緯度A)cos(緯度B)sin(緯度A)sin(緯度B)cos(経度A-経度B)

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一方、

A(cos経度Acos緯度A、sin経度Acos緯度A、sin緯度A)

B(cos経度Bcos緯度B、sin経度Bcos緯度B、sin緯度B)

外積を計算すると

（sin経度Acos緯度Asin緯度B-sin緯度Asin経度Bcos緯度B、-cos経度Acos緯度Asin緯度B+sin緯度Acos経度Bcos緯度B、cos経度Acos緯度Asin経度Bcos緯度B-sin経度Acos緯度Acos経度Bcos緯度B）

この大きさがsinθになる。

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(sin経度Acos緯度Asin緯度B)^2

(sin緯度Asin経度Bcos緯度B)^2

(cos経度Acos緯度Asin緯度B)^2

(sin緯度Acos経度Bcos緯度B)^2

(cos経度Acos緯度Asin経度Bcos緯度B)^2

(sin経度Acos緯度Acos経度Bcos緯度B)^2

-2sin経度Acos緯度Asin緯度Bsin緯度Asin経度Bcos緯度B

-2cos経度Acos緯度Asin緯度Bsin緯度Acos経度Bcos緯度B

-2cos経度Acos緯度Asin経度Bcos緯度Bsin経度Acos緯度Acos経度Bcos緯度B

これらの和が(sinθ)^2になる。

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(sin経度Acos緯度Asin緯度B)^2+(cos経度Acos緯度Asin緯度B)^2=(cos緯度Asin緯度B)^2 =1/4{sin(緯度A+緯度B)-sin(緯度A-緯度B)}^2

(sin緯度Asin経度Bcos緯度B)^2+(sin緯度Acos経度Bcos緯度B)^2=(sin緯度Acos緯度B)^2 =1/4{sin(緯度A+緯度B)+sin(緯度A-緯度B)}^2

(cos経度Acos緯度Asin経度Bcos緯度B)^2+(sin経度Acos緯度Acos経度Bcos緯度B)^2

=(cos緯度Acos緯度B)^2{(cos経度A)^2(sin経度B)^2+(sin経度A)^2(cos経度B)^2}

=1/4(cos緯度Acos緯度B)^2{{sin(経度A+経度B)-sin(経度A-経度B)}^2+{sin(経度A+経度B)+sin(経度A-経度B)}^2

これらの和は

=1/2{sin(緯度A+緯度B)^2+sin(緯度A-緯度B)^2}

+1/2(cos緯度Acos緯度B)^2{sin(経度A+経度B)^2+sin(経度A-経度B)^2}

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-2sin経度Acos緯度Asin緯度Bsin緯度Asin経度Bcos緯度B-2cos経度Acos緯度Asin緯度Bsin緯度Acos経度Bcos緯度B

=-2cos緯度Asin緯度Bsin緯度Acos緯度B(sin経度Asin経度B+cos経度Acos経度B)

=-2cos緯度Asin緯度Bsin緯度Acos緯度Bcos(経度A-経度B)

-2cos経度Acos緯度Acos経度Bcos緯度Bsin経度Acos緯度Acos経度Bcos緯度B

=-2cos緯度Acos緯度Bcos緯度Acos緯度B(cos経度Asin経度Bsin経度Acos経度B)

=-2(cos緯度Acos緯度B)^2(cos経度Asin経度Bsin経度Acos経度B)

=-1/2(cos緯度Acos緯度B)^2{sin(経度A+経度B)-sin(経度A-経度B)}{sin(経度A+経度B)-sin(経度A-経度B)}

これらの和は

-1/2・{sin(緯度A+緯度B)^2-sin(緯度A-緯度B)^2}cos(経度A-経度B)

-1/2(cos緯度Acos緯度B)^2{sin(経度A+経度B)^2-sin(経度A-経度B)^2}

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全体の和は

=1/2{sin(緯度A+緯度B)^2+sin(緯度A-緯度B)^2}

+1/2(cos緯度Acos緯度B)^2{sin(経度A+経度B)^2+sin(経度A-経度B)^2}

-1/2・{sin(緯度A+緯度B)^2-sin(緯度A-緯度B)^2}cos(経度A-経度B)

-1/2(cos緯度Acos緯度B)^2{sin(経度A+経度B)^2-sin(経度A-経度B)^2}

=1/2{sin(緯度A+緯度B)^2+sin(緯度A-緯度B)^2}

+(cos緯度Acos緯度B)^2{sin(経度A-経度B)^2}

-1/2・{sin(緯度A+緯度B)^2-sin(緯度A-緯度B)^2}cos(経度A-経度B)

これが(sinθ)^2に等しい。

(cosθ)^2=1-1/2{sin(緯度A+緯度B)^2+sin(緯度A-緯度B)^2}+1/2・{sin(緯度A+緯度B)^2-sin(緯度A-緯度B)^2}cos(経度A-経度B)-(cos緯度Acos緯度B)^2{sin(経度A-経度B)^2}

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経度A=経度Bであれば、

(cosθ)^2=1-sin(緯度A-緯度B)^2=cos(緯度A-緯度B)^2

θ=緯度A-緯度Bとなって正しい答えを返してくる

緯度A=緯度B=0のとき

(cosθ)^2=1-sin(経度A-経度B)^2=cos(経度A-経度B)^2

θ=経度A-経度Bとなって正しい答えを返してくる

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C={cos(緯度A)cos(緯度B)cos(経度A-経度B)}^2+{sin(緯度A)sin(緯度B)}^2+2cos(緯度A)cos(緯度B)sin(緯度A)sin(緯度B)cos(経度A-経度B)

D=1-1/2{sin(緯度A+緯度B)^2+sin(緯度A-緯度B)^2}+1/2・{sin(緯度A+緯度B)^2-sin(緯度A-緯度B)^2}cos(経度A-経度B)-(cos緯度Acos緯度B)^2{sin(経度A-経度B)^2}

D=1-1/2{sin(緯度A+緯度B)^2+sin(緯度A-緯度B)^2}+1/2・{sin(緯度A+緯度B)^2-sin(緯度A-緯度B)^2}cos(経度A-経度B)-(cos緯度Acos緯度B)^2{1-cos(経度A-経度B)^2}

D=1-1/2{sin(緯度A+緯度B)^2+sin(緯度A-緯度B)^2}+1/2・{sin(緯度A+緯度B)^2-sin(緯度A-緯度B)^2}cos(経度A-経度B)-(cos緯度Acos緯度B)^2{1-cos(経度A-経度B)^2}

D=1-1/2{sin(緯度A+緯度B)^2+sin(緯度A-緯度B)^2}+{2sin(緯度A)cos(緯度B)cos(緯度A)sin(緯度B)}cos(経度A-経度B)-(cos緯度Acos緯度B)^2{1-cos(経度A-経度B)^2}

C={cos(緯度A)cos(緯度B)cos(経度A-経度B)}^2+{sin(緯度A)sin(緯度B)}^2+2cos(緯度A)cos(緯度B)sin(緯度A)sin(緯度B)cos(経度A-経度B)

D=1-1/2{sin(緯度A+緯度B)^2+sin(緯度A-緯度B)^2}+{2sin(緯度A)cos(緯度B)cos(緯度A)sin(緯度B)}cos(経度A-経度B)-(cos緯度Acos緯度B)^2+(cos緯度Acos緯度B)^2cos(経度A-経度B)^2}

C=

D=-1/2{sin(緯度A+緯度B)^2+sin(緯度A-緯度B)^2}

C-D=

近づいてきたが、まだ合わない

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