地球上の２点A,Bの球面距離を知りたい。

A(緯度A、経度A)

B(緯度B、経度B)

経度が等しければ、球面距離θは緯度A-緯度Bになるが、経度が異なる場合を考える。

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{sin(θ/2)}^2={sin(緯度A-緯度B)/2)}^2+cos(緯度A)cos(緯度B){sin(経度A-経度B)/2)}^2

経度A=経度Bであれば、θ=緯度A-緯度B

緯度A=緯度B=0のときθ=経度A-経度Bとなって正しい答えを返してくる

これを書き換えると

(1-cosθ)/2={1-cos(緯度A-緯度B)}/2+cos(緯度A)cos(緯度B){1-cos(経度A-経度B)}/2

(1-cosθ)={1-cos(緯度A-緯度B)}+cos(緯度A)cos(緯度B){1-cos(経度A-経度B)}

(cosθ)={cos(緯度A-緯度B)}-cos(緯度A)cos(緯度B){1-cos(経度A-経度B)}

経度A=経度Bであれば、θ=緯度A-緯度B

緯度A=緯度B=0のときθ=経度A-経度Bとなって正しい答えを返してくる

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A(cos経度Acos緯度A、sin経度Acos緯度A、sin緯度A)

B(cos経度Bcos緯度B、sin経度Bcos緯度B、sin緯度B)

外積を計算すると

（sin経度Acos緯度Asin緯度B-sin緯度Asin経度Bcos緯度B、-cos経度Acos緯度Asin緯度B+sin緯度Acos経度Bcos緯度B、cos経度Acos緯度Asin経度Bcos緯度B-sin経度Acos緯度Acos経度Bcos緯度B）

この大きさがsinθになる。

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(sin経度Acos緯度Asin緯度B)^2

(sin緯度Asin経度Bcos緯度B)^2

(cos経度Acos緯度Asin緯度B)^2

(sin緯度Acos経度Bcos緯度B)^2

(cos経度Acos緯度Asin経度Bcos緯度B)^2

(sin経度Acos緯度Acos経度Bcos緯度B)^2

-2sin経度Acos緯度Asin緯度Bsin緯度Asin経度Bcos緯度B

-2cos経度Acos緯度Asin緯度Bsin緯度Acos経度Bcos緯度B

-2cos経度Acos緯度Asin経度Bcos緯度Bsin経度Acos緯度Acos経度Bcos緯度B

これらの和が(sinθ)^2になる。

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(sin経度Acos緯度Asin緯度B)^2+(cos経度Acos緯度Asin緯度B)^2=2(cos緯度Asin緯度B)^2

(sin緯度Asin経度Bcos緯度B)^2+(sin緯度Acos経度Bcos緯度B)^2=2(sin緯度Acos緯度B)^2

(cos経度Acos緯度Asin経度Bcos緯度B)^2+(sin経度Acos緯度Acos経度Bcos緯度B)^2

=(cos緯度Asin経度Bcos緯度B)^2+(cos緯度Acos経度Bcos緯度B)^2

=2(cos緯度Acos緯度B)^2

-2sin経度Acos緯度Asin緯度Bsin緯度Asin経度Bcos緯度B-2cos経度Acos緯度Asin緯度Bsin緯度Acos経度Bcos緯度B

=-2cos緯度Asin緯度Bsin緯度Acos緯度B(sin経度Asin経度B+cos経度Acos経度B)

-2cos経度Acos緯度Asin経度Bcos緯度Bsin経度Acos緯度Acos経度Bcos緯度B

=-2cos緯度Acos緯度Bsin緯度Acos緯度B(cos経度Asin経度Bsin経度Acos経度B)

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2(cos緯度Asin緯度B)^2+2(sin緯度Acos緯度B)^2+2(cos緯度Acos緯度B)^2

=2{(cos緯度A)^2+(cos緯度B)^2-(cos緯度A)^2(cos緯度B)^2}

=-2{1-(cos緯度A)^2}{1-(cos緯度B)^2} +2

=-2{(sin緯度A)^2}{(sin緯度B)^2} +2

-2cos緯度Asin緯度Bsin緯度Acos緯度B(sin経度Asin経度B+cos経度Acos経度B)

-2cos緯度Acos緯度Bsin緯度Acos緯度B(cos経度Asin経度Bsin経度Acos経度B)

=-2cos緯度Asin緯度Bsin緯度Acos緯度Bcos(経度A-経度B)

-2cos緯度Acos緯度Bsin緯度Acos緯度B(cos経度Asin経度Bsin経度Acos経度B)

(sinθ)^2=-2{(sin緯度A)^2}{(sin緯度B)^2} +2

-2cos緯度Asin緯度Bsin緯度Acos緯度Bcos(経度A-経度B)

-2cos緯度Acos緯度Bsin緯度Acos緯度B(cos経度Asin経度Bsin経度Acos経度B)

(cosθ)^2=-1+2{(sin緯度A)^2}{(sin緯度B)^2}

+2cos緯度Asin緯度Bsin緯度Acos緯度Bcos(経度A-経度B)

+2cos緯度Acos緯度Bsin緯度Acos緯度B(cos経度Asin経度Bsin経度Acos経度B)

(cosθ)^2=-1+2{(sin緯度A)^2}{(sin緯度B)^2}

+2cos緯度Asin緯度Bsin緯度Acos緯度Bcos(経度A-経度B)

-1/2cos緯度Acos緯度Bsin緯度Acos緯度B・{cos(経度A+経度B)+cos(経度A-経度B)}{cos(経度A+経度B)-cos(経度A-経度B)}

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一方、

(cosθ)={cos(緯度A-緯度B)}-cos(緯度A)cos(緯度B){1-cos(経度A-経度B)}

(cosθ)={cos(緯度A-緯度B)}-cos(緯度A)cos(緯度B)+cos(緯度A)cos(緯度B)cos(経度A-経度B)

(cosθ)=sin(緯度A)sin(緯度B)+cos(緯度A)cos(緯度B)cos(経度A-経度B)より

(cosθ)^2={sin(緯度A)sin(緯度B)}^2+{cos(緯度A)cos(緯度B)cos(経度A-経度B)}^2+2sin(緯度A)sin(緯度B)cos(緯度A)cos(緯度B)cos(経度A-経度B)

(cosθ)^2={cos(緯度A)cos(緯度B)cos(経度A-経度B)+sin(緯度A)sin(緯度B)}^2

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