地球上の２点A,Bの球面距離を知りたい。

A(緯度A、経度A)

B(緯度B、経度B)

経度が等しければ、球面距離θは緯度A-緯度Bになるが、経度が異なる場合を考える。

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{sin(θ/2)}^2={sin(緯度A-緯度B)/2)}^2+cos(緯度A)cos(緯度B){sin(経度A-経度B)/2)}^2

経度A=経度Bであれば、θ=緯度A-緯度B

緯度A=緯度B=0のときθ=経度A-経度Bとなって正しい答えを返してくる

これを書き換えると

(1-cosθ)/2={1-cos(緯度A-緯度B)}/2+cos(緯度A)cos(緯度B){1-cos(経度A-経度B)}/2

(1-cosθ)={1-cos(緯度A-緯度B)}+cos(緯度A)cos(緯度B){1-cos(経度A-経度B)}

(cosθ)={cos(緯度A-緯度B)}-cos(緯度A)cos(緯度B){1-cos(経度A-経度B)}

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A(cos経度A、sin経度A、sin緯度A)

B(cos経度B、sin経度B、sin緯度B)

外積を計算すると

（sin経度Asin緯度B-sin緯度Asin経度B、-cos経度Asin緯度B+sin緯度Acos経度B、cos経度Asin経度B-sin経度Acos経度B）

（sin経度Asin緯度B-sin緯度Asin経度B、-cos経度Asin緯度B+sin緯度Acos経度B、-sin(経度A-経度B）

この大きさがsinθになる。

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(sin経度Asin緯度B)^2

(sin緯度Asin経度B)^2

(cos経度Asin緯度B)^2

(sin緯度Acos経度B)^2

(-sin(経度A-経度B）)^2

-2sin経度Asin緯度Asin緯度Bsin経度B

-2cos経度Asin緯度Asin緯度Bcos経度B

これらの和が(sinθ)^2になる。

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(sin経度Asin緯度B)^2+(cos経度Asin緯度B)^2=(sin緯度B)^2=1-(cos緯度B)^2

(sin緯度Asin経度B)^2+(sin緯度Acos経度B)^2=(sin緯度A)^2=1-(cos緯度A)^2

(-sin(経度A-経度B）)^2=1-cos(経度A-経度B))^2

-2sin緯度Asin緯度B(sin経度Asin経度B+cos経度Acos経度B)=-2sin緯度Asin緯度Bcos(経度A-経度B）

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(sinθ)^2=3-(cos緯度A)^2-(cos緯度B)^2-cos(経度A-経度B))^2-2sin緯度Asin緯度Bcos(経度A-経度B）

(cosθ)^2=-2+(cos緯度A)^2+(cos緯度B)^2+cos(経度A-経度B))^2+2sin緯度Asin緯度Bcos(経度A-経度B）

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一方、

(cosθ)={cos(緯度A-緯度B)}-cos(緯度A)cos(緯度B){1-cos(経度A-経度B)}

(cosθ)={cos(緯度A-緯度B)}-cos(緯度A)cos(緯度B)+cos(緯度A)cos(緯度B)cos(経度A-経度B)

(cosθ)=sin(緯度A)sin(緯度B)+cos(緯度A)cos(緯度B)cos(経度A-経度B)より

(cosθ)^2={sin(緯度A)sin(緯度B)}^2+{cos(緯度A)cos(緯度B)cos(経度A-経度B)}^2+2sin(緯度A)sin(緯度B)cos(緯度A)cos(緯度B)cos(経度A-経度B)

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C=-2+(cos緯度A)^2+(cos緯度B)^2+cos(経度A-経度B))^2+2sin緯度Asin緯度Bcos(経度A-経度B）

D={sin(緯度A)sin(緯度B)}^2+{cos(緯度A)cos(緯度B)cos(経度A-経度B)}^2+2sin(緯度A)sin(緯度B)cos(緯度A)cos(緯度B)cos(経度A-経度B)

C-D=-2+(cos緯度A)^2+(cos緯度B)^2+cos(経度A-経度B))^2-{sin(緯度A)sin(緯度B)}^2-{cos(緯度A)cos(緯度B)cos(経度A-経度B)}^2

C-D=-2+(cos緯度A)^2+(cos緯度B)^2-{sin(緯度A)sin(緯度B)}^2+cos(経度A-経度B))^2-{cos(緯度A)cos(緯度B)cos(経度A-経度B)}^2

C-D=-2+(cos緯度A)^2+(cos緯度B)^2-(1-(cos緯度A)^2)(1-(cos緯度B)^2)+cos(経度A-経度B))^2-{cos(緯度A)cos(緯度B)cos(経度A-経度B)}^2

C-D=-3+2(cos緯度A)^2+2(cos緯度B)^2-{(cos緯度A)(cos緯度B)}^2)+cos(経度A-経度B))^2{1-cos(緯度A)cos(緯度B)}

0にはならないようだが・・・

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