地球上の２点A,Bの球面距離を知りたい。

A(緯度A、経度A)

B(緯度B、経度B)

経度が等しければ、球面距離θは緯度A-緯度Bになるが、経度が異なる場合を考える。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

{sin(θ/2)}^2={sin(緯度A-緯度B)/2)}^2+cos(緯度A)cos(緯度B){sin(経度A-経度B)/2)}^2

経度A=経度Bであれば、θ=緯度A-緯度B

これを書き換えると

(1-cosθ)/2={1-cos(緯度A-緯度B)}/2+cos(緯度A)cos(緯度B){1-cos(経度A-経度B)}/2

(1-cosθ)={1-cos(緯度A-緯度B)}+cos(緯度A)cos(緯度B){1-cos(経度A-経度B)}

(cosθ)={cos(緯度A-緯度B)}-cos(緯度A)cos(緯度B){1-cos(経度A-経度B)}

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

A(cos経度A、sin経度A、sin緯度A)

B(cos経度B、sin経度B、sin緯度B)

外積を計算すると

（sin経度Asin緯度B-sin緯度Asin経度B、-cos経度Asin緯度B+sin緯度Acos経度B、cos経度Asin経度B-sin経度Acos経度B）

（sin経度Asin緯度B-sin緯度Asin経度B、-cos経度Asin緯度B+sin緯度Acos経度B、-sin(経度A-経度B）

この大きさがsinθになる。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

(sin経度Asin緯度B)^2

(sin緯度Asin経度B)^2

(cos経度Asin緯度B)^2

(sin緯度Acos経度B)^2

(-sin(経度A-経度B）)^2

-2sin経度Asin緯度Asin緯度Bsin経度B

-2cos経度Asin緯度Asin緯度Bcos経度B

これらの和が(sinθ)^2になる。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

(sin経度Asin緯度B)^2+(cos経度Asin緯度B)^2=(sin緯度B)^2=1-(cos緯度B)^2

(sin緯度Asin経度B)^2+(sin緯度Acos経度B)^2=(sin緯度A)^2=1-(cos緯度A)^2

(-sin(経度A-経度B）)^2=1-cos(経度A-経度B))^2

-2sin緯度Asin緯度B(sin経度Asin経度B+cos経度Acos経度B)=-2sin緯度Asin緯度Bcos(経度A-経度B）

={cos(緯度A+緯度B)-cos(緯度A-緯度B)}cos(経度A-経度B）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

(sinθ)^2=3-(cos緯度A)^2-(cos緯度B)^2-cos(経度A-経度B))^2-2sin緯度Asin緯度Bcos(経度A-経度B）

(cosθ)^2=-2+(cos緯度A)^2+(cos緯度B)^2+cos(経度A-経度B))^2+2sin緯度Asin緯度Bcos(経度A-経度B）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

一方、

(cosθ)={cos(緯度A-緯度B)}-cos(緯度A)cos(緯度B){1-cos(経度A-経度B)}より

(cosθ)^2={cos(緯度A-緯度B)}^2+{cos(緯度A)cos(緯度B){1-cos(経度A-経度B)}}^2-2{cos(緯度A-緯度B)}cos(緯度A)cos(緯度B){1-cos(経度A-経度B)}

(cosθ)^2={cos(緯度A-緯度B)}^2+{cos(緯度A)cos(緯度B){1-cos(経度A-経度B)}}^2-2{cos(緯度A-緯度B)}cos(緯度A)cos(緯度B) +2{cos(緯度A-緯度B)}^2cos(緯度A)cos(緯度B)

(cosθ)^2={cos(緯度A-緯度B)}^2+{cos(緯度A)^2cos(緯度B)^2+cos(緯度A)^2cos(緯度B)^2cos(経度A-経度B)^2-2cos(緯度A)^2cos(緯度B)^2cos(経度A-経度B)-2{cos(緯度A-緯度B)}cos(緯度A)cos(緯度B)+2{cos(緯度A-緯度B)}^2cos(緯度A)cos(緯度B)

(cosθ)^2={cos(緯度A-緯度B)}^2{1+cos(緯度A)^2cos(緯度B)^2+2cos(緯度A)cos(緯度B)} +cos(緯度A)cos(緯度B){cos(緯度A)cos(緯度B)-2cos(緯度A)cos(緯度B)cos(経度A-経度B)-2cos(緯度A-緯度B)}

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝