地球上の２点A,Bの球面距離を知りたい。

A(緯度A、経度A)

B(緯度B、経度B)

経度が等しければ、球面距離θは緯度A-緯度Bになるが、経度が異なる場合を考える。

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{sin(θ/2)}^2={sin(緯度A-緯度B)/2)}^2+cos(緯度A)cos(緯度B){sin(経度A-経度B)/2)}^2

経度A=経度Bであれば、θ=緯度A-緯度B

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A(cos経度A、sin経度A、sin緯度A)

B(cos経度B、sin経度B、sin緯度B)

外積を計算すると

（sin経度Asin緯度B-sin緯度Asin経度B、-cos経度Asin緯度B+sin緯度Acos経度B、cos経度Asin経度B-sin経度Acos経度B）

（sin経度Asin緯度B-sin緯度Asin経度B、-cos経度Asin緯度B+sin緯度Acos経度B、-sin(経度A-経度B）

この大きさがsinθになる。

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(sin経度Asin緯度B)^2

(sin緯度Asin経度B)^2

(cos経度Asin緯度B)^2

(sin緯度Acos経度B)^2

(-sin(経度A-経度B）)^2

-2sin経度Asin緯度Asin緯度Bsin経度B

-2cos経度Asin緯度Asin緯度Bcos経度B

これらの和が(sinθ)^2になる。

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(sin経度Asin緯度B)^2+(cos経度Asin緯度B)^2=(sin緯度B)^2

(sin緯度Asin経度B)^2+(sin緯度Acos経度B)^2=(sin緯度A)^2

(-sin(経度A-経度B）)^2=4sin(経度A-経度B)/2)}^2{cos(経度A-経度B)/2)}^2

-2sin緯度Asin緯度B(sin経度Asin経度B+cos経度Acos経度B)=-2sin緯度Asin緯度Bcos(経度A-経度B）

=-2sin緯度Asin緯度B{1-2{sin(経度A-経度B)/2}^2}

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(sin緯度A-sin緯度B)^2

4sin(経度A-経度B)/2)}^2{cos(経度A-経度B)/2)}^2

4sin緯度Asin緯度B{sin(経度A-経度B)/2}^2}

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(sin緯度A-sin緯度B)^2=(2sin緯度A/2cos緯度A/2-2sin緯度B/2cos緯度B/2)^2

=4(sin緯度A/2cos緯度A/2)^2+4(sin緯度B/2cos緯度B/2)^2-8sin緯度A/2sin緯度B/2cos緯度A/2cos緯度B/2

4sin(経度A-経度B)/2)}^2{(cos(経度A-経度B)/2))^2+sin緯度Asin緯度B}

{(cos(経度A/2)cos(経度B/2)+sin(経度A/2)sin(経度B/2)^2+4sin緯度A/2sin緯度B/2cos緯度A/2cos緯度B/2}

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