地球上の２点A,Bの球面距離を知りたい。

A(緯度A、経度A)

B(緯度B、経度B)

経度が等しければ、球面距離θは緯度A-緯度Bになるが、経度が異なる場合を考える。

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{sin(θ/2)}^2={sin(緯度A-緯度B)/2)}^2+cos(緯度A)cos(緯度B){sin(経度A-経度B)/2)}^2

経度A=経度Bであれば、θ=緯度A-緯度B

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A(cos経度A、sin経度A、sin緯度A)

B(cos経度B、sin経度B、sin緯度B)

外積を計算すると

（sin経度Asin緯度B-sin緯度Asin経度B、-cos経度Asin緯度B+sin緯度Acos経度B、cos経度Asin経度B-sin経度Acos経度B）

（sin経度Asin緯度B-sin緯度Asin経度B、-cos経度Asin緯度B+sin緯度Acos経度B、-sin(経度A-経度B）

この大きさがsinθになる。

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(sin経度Asin緯度B)^2

(sin緯度Asin経度B)^2

(cos経度Asin緯度B)^2

(sin緯度Acos経度B)^2

(-sin(経度A-経度B）)^2

-2sin経度Asin緯度Asin緯度Bsin経度B

-2cos経度Asin緯度Asin緯度Bcos経度B

これらの和が(sinθ)^2になる。

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(sin経度Asin緯度B)^2+(cos経度Asin緯度B)^2=(sin緯度B)^2

(sin緯度Asin経度B)^2+(sin緯度Acos経度B)^2=(sin緯度A)^2

(-sin(経度A-経度B）)^2

-2sin緯度Asin緯度B(sin経度Asin経度B+cos経度Acos経度B)=-2sin緯度Asin緯度Bcos(経度A-経度B）

={-cos(緯度A+緯度B)+cos(緯度A-緯度B)}cos(経度A-経度B）

うまくいかない。どこの間違いがあるのだろうか？

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　まず最初に昔なつかしい「ベクトル」を思い出して頂き，「ベクトルの外積」の大きさ，すなわち，２つの２次元ベクトル

　　ａ↑＝（ｘ1，ｙ1）

　　ｂ↑＝（ｘ2，ｙ2）

が作る平行四辺形の面積について考えてみることにします．

　　｜ａ↑｜＝ａ，｜ｂ↑｜＝ｂ

とすれば，平行四辺形の面積は，

　　Ｓ＝ａｂｓｉｎθ

ですから，

　　Ｓ^2＝ａ^2ｂ^2（１−ｃｏｓ^2θ）

　　　　＝｜ａ↑｜^2｜ｂ↑｜^2−（ａ↑・ｂ↑）^2

　　　　＝｜ａ↑・ａ↑　　ａ↑・ｂ↑｜

　　　　　｜ｂ↑・ａ↑　　ｂ↑・ｂ↑｜

で与えられます．内積の行列式で定義される行列式をグラムの行列式（グラミアン）といいます．平行四辺形の面積はグラミアンの平方根に等しくなるというわけです．これを座標を使って表せば，

　　Ｓ^2＝｜ｘ1　ｘ2｜^2

　　　　　｜ｙ1　ｙ2｜

のように展開されます．

　３次元ベクトル

　　ａ↑＝（ｘ1，ｙ1，ｚ1）

　　ｂ↑＝（ｘ2，ｙ2，ｚ2）

のときは，

　　Ｓ^2＝｜ａ↑｜^2｜ｂ↑｜^2−（ａ↑・ｂ↑）^2

　　　　＝｜ｙ1　ｙ2｜^2＋｜ｚ1　ｚ2｜^2＋｜ｘ1　ｘ2｜^2

　　　　　｜ｚ1　ｚ2｜　　｜ｘ1　ｘ2｜　　｜ｙ1　ｙ2｜

これは３次元ベクトル

　　（ｙ1ｚ2−ｚ1ｙ2，ｚ1ｘ2−ｚ2ｙ1，ｘ1ｙ2−ｙ1ｘ2）

の長さの形をしています．

　これは平行六面体の体積

　　　｜ａ↑・ａ↑　　ａ↑・ｂ↑　　ａ↑・ｃ↑｜　｜ｘ1　ｙ1　ｚ1｜^2

Ｖ^2＝｜ｂ↑・ａ↑　　ｂ↑・ｂ↑　　ｂ↑・ｃ↑｜＝｜ｘ2　ｙ2　ｚ2｜

　　　｜ｃ↑・ａ↑　　ｃ↑・ｂ↑　　ｃ↑・ｃ↑｜　｜ｘ3　ｙ3　ｚ3｜

ではなく，平行四辺形の面積であることを注意しておきます．

　　ａ↑＝（ｘ1，ｙ1，ｚ1）

　　ｂ↑＝（ｘ2，ｙ2，ｚ2）

の外積は，３次元ベクトル

　　（ｙ1ｚ2−ｚ1ｙ2，ｚ1ｘ2−ｚ2ｙ1，ｘ1ｙ2−ｙ1ｘ2）

で与えられます．すなわち，外積の大きさ＝平行四辺形の面積なのです．

　少し見ただけではわかりにくい表示で，憶えるのも大変そうですが，行列式を使うと

　　　　　　　　　　　｜ｅ1↑　ｅ2↑　ｅ3↑｜

　　ｃ↑＝ａ↑×ｂ↑＝｜ｘ1　　ｙ1　　ｚ1　｜

　　　　　　　　　　　｜ｘ2　　ｙ2　　ｚ2　｜

上の行から，単位ベクトル，ａ↑の成分，ｂ↑の成分の順に並ぶというわかりやすい形に整理できます．

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