フィボナッチ多項式をFn(x)、リュカ多項式をLn(x)で表すことにする

Ln(x)=2(-i)^nTn(ix/2)

Fn+1(x)=(-i)^nUn(ix/2)

(Ln(x))^2-(x^2+4)(Fn(x))^2=4(-1)^n

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これらは同じ漸化式

gn(x)=xgn-1(x)+gn-2(x)

を満たす。

g1(x)=1,g2(x)=x→gn(x)=Fn(x)

g1(x)=2,g2(x)=x→gn(x)=Ln(x)

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F1(x)=1,F2(x)=x

F3(x)=x^2+1

F4(x)=x^3+2x

F5(x)=x^4+3x^2+1

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L1(x)=2,L2(x)=x

L3(x)=x^2+2

L4(x)=x^3+3x

L5(x)=x^4+4x^2+2

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gn(x)=xgn-1(x)+gn-2(x)

α=(x+△)/2,β=(x-△)/2,△=(x^2+4)^1/2,α+β=x,α-β=△,αβ=-1

Fn(x)=(α^n-β^n)/(α-β)

Ln(x)=(α^n+β^n)

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いっぽう、Tn(x),Un(x)は漸化式

zn=2xZn-1-Zn-2

を満たしている。

z0=1,z1=xのとき、zn=Tn(x)

z0=1,z1=2xのとき、zn=Un(x)

α=(x+△),β=(x-△),△=(x^2-1)^1/2,α+β=2x,α-β=2△,αβ=1

Tn(x)=(α^n+β^n)/2

Un(x)=(α^n+1-β^n+1)/(α-β)

T0(x)=1,T1(x)=x

T2(x)=2x^2-1

T3(x)=4x^3-3x

T4(x)=8x^4-8x^2+1

T5(x)=16x^5-20x^3+5x

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U0(x)=1,U1(x)=2x

U2(x)=4x^2-1

U3(x)=8x^3-4x+1

U4(x)=16x^4-8x^2+2

U5(x)=32x^5-32x^3+6x

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いっぽう、Pn(x),Qn(x)は漸化式

zn=2xZn-1+Zn-2

を満たしている。

z0=1,z1=xのとき、zn=Pn(x)

z0=1,z1=2xのとき、zn=Qn(x)

α=(x+△),β=(x-△),△=(x^2+1)^1/2,α+β=2x,α-β=2△,αβ=-1

Qn(x)=(α^n+β^n)/2

Pn(x)=(α^n+1-β^n+1)/(α-β)

P1(x)=0,P2(x)=1

P3(x)=2x

P4(x)=4x^2+1

P5(x)=8x^3+4x

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Q1(x)=2,Q2(x)=2x

Q3(x)=4x^2+2

Q4(x)=8x^3+6x

Q5(x)=16x^4+16x^2+2

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