空間充填２^n＋２ｎ胞体について

　　｛３，４｝（１１０）

　　｛３，３，４｝（０１００）

　　｛３，３，３，４｝（０１１００）

　　｛３，３，３，３，４｝（００１０００）

ｘ＝２／ｎとすると，それぞれの頂点座標は

２次元：（ｘ，０）の置換　

３次元：（ｘ，ｘ／２，０）の置換，１辺の長さｘ／２・√２

４次元：（ｘ，ｘ，０，０）の置換，１辺の長さｘ・√２

５次元：（ｘ，ｘ，ｘ／２，０，０）の置換，１辺の長さｘ／２・√２

６次元：（ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０）の置換，１辺の長さｘ・√２

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　面心の２倍のところに，空間充填相手の中心が来るので，切頂面と原正多胞体のｎ−１次元面の配置を調べてみると

［１］偶数次元

　ｎ＝２のとき，０と２→（２ｘ，０），（ｘ，±ｘ）

　ｎ＝４のとき，２と４→（２ｘ，０，０，０），（０，２ｘ，０，０），（ｘ，ｘ，±ｘ，±ｘ）

　ｎ＝６のとき，３と８→（２ｘ，０，０，０，０，０），（０，２ｘ，０，０，０，０），（０，０，２ｘ，０，０，０），（ｘ，ｘ，ｘ，±ｘ，±ｘ，±ｘ）

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［２］奇数次元

　ｎ＝３のとき，１と２→（２ｘ，０，０），（ｘ，ｘ，±ｘ）

　ｎ＝５のとき，２と４→（２ｘ，０，０，０，０），（０，２ｘ，０，０，０），（ｘ，ｘ，ｘ，±ｘ，±ｘ）

　ｎ＝７のとき，３と８→（２ｘ，０，０，０，０，０，０），（０，２ｘ，０，０，０，０，０），（０，０，２ｘ，０，０，０，０），（ｘ，ｘ，ｘ，ｘ，±ｘ，±ｘ，±ｘ）

になる．

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　また，頂点の２倍は

２次元：（２ｘ，０）　

３次元：（２ｘ，ｘ，０）

４次元：（２ｘ，２ｘ，０，０）

５次元：（２ｘ，２ｘ，ｘ，０，０）

６次元：（２ｘ，２ｘ，２ｘ，０，０，０）

　ここに隙間ができるかどうかが問題となる．なお，二面角は３体で２πとなるため，辺接触は考えられず，点接触のみを考慮すればよい．

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［まとめ］空間充填多面体が正多面体のとき，高い対称性のため，隙間ができるようである．ｎ＝２，４のとき＋２，それ以外は＋１となる．

［１］偶数次元

　ｎ＝２のとき，０と２→４

　ｎ＝４のとき，２と４→８

　ｎ＝６のとき，３と８→１２

　ｎ＝８のとき，４と１６→２１

　ｎ＝１０のとき，５と３２→３８

　ｎ＝１２のとき，６と６４→７１

［２］奇数次元

　ｎ＝３のとき，１と２→４

　ｎ＝５のとき，２と４→７

　ｎ＝７のとき，３と８→１２

　ｎ＝９のとき，４と１６→２１

　ｎ＝１１のとき，５と３２→３８

　ｎ＝１２ とき，６と６４→７１

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