ｘ^2−ｍｙ^2＝±４の場合を考えてみます．

【１】基本単数

　ｍ＝１（ｍｏｄ４）のとき，基本単数を

　　ε＝（ａ＋ｂ√ｍ）／２　　　ａ＝ｂ（ｍｏｄ２）

と書けば

　　ａ^2−ｍｂ^2＝±４

となること以外は，ａ^2−ｍｂ^2＝±１と同様です．

　Ｑ（√５），Ｑ（√１３）の基本単数を求めると，それぞれ，

　　ｘ^2−５ｙ^2＝±４，複号は−４で（１，１）が最小→ε＝（１＋√５）／２

　　ｘ^2−１３ｙ^2＝±４，複号は−４で（３，１）が最小→ε＝（３＋√１３）／２

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【２】漸化式

　　　ｘ^2−ｄｙ^2＝４の最小解を（ｘ1，ｙ1），

　　　ｘ^2−ｄｙ^2＝−４の最小解を（ｒ1，ｓ1）

とおくと，漸化式

　　ｃn+2 ＝ｘ1ｃn+1−ｃn　　　（ｃ＝ｘ，ｙ，ｒ，ｓ）

　　ｃn+2 ＝ｒ1ｃn+1＋ｃn　　　（ｃ＝ｔ，ｕ）

が成り立つ．

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【３】チェビシェフ多項式

　　　ｘ^2−ｄｙ^2＝１の最小解を（ｘ0，ｙ0），xn=Tn(x0),yn=y0Un-1(x0)

　　　(2ｘ)^2−ｄ(2ｙ)^2＝4の最小解を（ｘ0，ｙ0），xn=Tn(x0),yn=y0Un-1(x0)

　　　ｘ^2−ｄｙ^2＝４の最小解を（ｘ1，ｙ1），x1=2x0,y1=2y0

xn=2Tn(x0),yn=2y0Un-1(x0)

xn=2Tn(x1/2),yn=y10Un-1(x1/2)

これより

　　Ｃn（ｘ）＝２Ｔn（ｘ／２）

　　Ｓn（ｘ）＝Ｕn（ｘ／２）

と定義すると

　　ｘn＝Ｃn（ｘ1），ｙn＝ｙ1Ｓn-1（ｘ1）

　　ｔn＝Ｃ~n（ｔ1），ｕn＝ｕ1Ｓ~n-1（ｔ1）

　　ｘn＝Ｃ~2n（ｔ1），ｙn＝ｕ1Ｃ~2n-1（ｔ1）

　　ｒn＝Ｃ~2n-1（ｒ1），ｓn＝ｓ1Ｓ~2n-2（ｒ1）

と表される．

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　　ｔn＝Ｃ~n（ｔ1），ｕn＝ｕ1Ｓ~n-1（ｔ1）

であるが、漸化式がfn=xfn-1-fn-2すなわち、Vn(x),vn(x)に変わったと考えることもできる

　　ｃn+2 ＝ｒ1ｃn+1＋ｃn　　　（ｃ＝ｔ，ｕ）

はFn(x),Ln(x)に変わったと考えることもできる

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