ペル方程式: x^2-Dy^2=±1の一般解は

xn=(α^n+β^n)/2, yn=(α^n-β^n)/(2√D)で与えられる。

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ペル方程式: Tn^2-(x^2-1)Un-1^2=1の一般解は

(Tn,Un-1)で与えられる。

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ペル方程式: ln^2-(x^2+4)fn^2=4(-1)^nの一般解は

(ln,fn)で与えられる。

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ペル方程式: Tn^4-(x^2-1)^2Un-1^4-2(-1)^n(x^2-1)Un-1^2=1の一般解は

(Tn,Un-1)で与えられる。

Tn^2=(x^2-1)Un-1^2+1

Tn^4=(x^2-1)^2Un-1^4+2(x^2-1)Un-1^2+1

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(-1)^nが付くためには

Tn^2=±(x^2-1)Un-1^2+1

である必要があると思うのだが？？？

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　　　ｘ^2−ｄｙ^2＝−１の最小解を（ｒ1，ｓ1）

とおくと，漸化式

　　ｒn+2 ＝２ｘ1ｒn+1−ｒn　　

　　ｓn+2 ＝２ｘ1ｓn+1−ｓn　

が成り立つ．・・・(x1,y1)も必要

　ところで，ｃｏｓθ＝ｘの多項式で表すと，チェビシェフ多項式は

　　Ｔn（ｘ）＝２ｘＴn-1（ｘ）−Ｔn-2（ｘ）

　　Ｕn（ｘ）＝２ｘＵn-1（ｘ）−Ｕn-2（ｘ）

となり，前述の漸化式と一致していることがわかる．

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　　ｒn＝Ｔ~2n-1（ｒ1），ｓn＝ｓ1Ｕ~2n-2（ｒ1）・・・次数が変換されている

と表される．

　ただし，Ｔ~n，Ｕ~nはチェビシェフ多項式Ｔn，Ｕnの負の符号を正に変えたものである．以下，チェビシェフ多項式を示しておく．

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Ｔ0（ｘ）＝１　　　　　　　　 Ｔ~0（ｘ）＝１　　　　　　　　

Ｔ1（ｘ）＝ｘ　　　　　　　　 Ｔ~1（ｘ）＝ｘ　　　　　　　　

Ｔ2（ｘ）＝２ｘ^2−１　　　　 Ｔ~2（ｘ）＝２ｘ^2＋１　　　　

Ｔ3（ｘ）＝４ｘ^3−３ｘ　　　 Ｔ~3（ｘ）＝４ｘ^3＋３ｘ　　　

Ｔ4（ｘ）＝８ｘ^4−８ｘ^2＋１ Ｔ~4（ｘ）＝８ｘ^4＋８ｘ^2＋１

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Ｕ0（ｘ）＝１　　　　　　　　 Ｕ~0（ｘ）＝１　　　　　　　

Ｕ1（ｘ）＝２ｘ　　　　　　　　 Ｕ~1（ｘ）＝２ｘ　　　　　　　

Ｕ2（ｘ）＝４ｘ^2−１　　　　 Ｕ~2（ｘ）＝４ｘ^2＋１　　　

Ｕ3（ｘ）＝８ｘ^3−４ｘ　　　 Ｕ~3（ｘ）＝８ｘ^3＋４ｘ　　

Ｕ4（ｘ）＝１６ｘ^4−１２ｘ^2＋１ Ｕ~4（ｘ）＝１６ｘ^4＋１２ｘ^2＋１

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　　　ｘ^2−Dｙ^2＝-１の最小解を（r1，s1）

　　　r1^2−Ds1^2＝-１

　　　Ds1^2＝r1^2+１

D＝(r1^2+１)/s1^2

　　rn＝Ｘn（r1），sn＝s1Ｙn（r1）

rn^2-Dsn^2=-1

rn^2-(x1^2+１)/s1^2・sn^2=-1

を満たす必要がある

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