ペル方程式: Tn^2-(x^2-1)Un-1^2=1の一般解は

(Tn,Un-1)で与えられる。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　　ｘ^2−ｄｙ^2＝１の最小解を（ｘ1，ｙ1），

とおくと，漸化式

　　ｘn+2 ＝２ｘ1ｘn+1−ｘn　

　　ｙn+2 ＝２ｘ1ｙn+1−ｙn

が成り立つ．

　ところで，ｃｏｓθ＝ｘの多項式で表すと，チェビシェフ多項式は

　　Ｔn（ｘ）＝２ｘＴn-1（ｘ）−Ｔn-2（ｘ）

　　Ｕn（ｘ）＝２ｘＵn-1（ｘ）−Ｕn-2（ｘ）

となり，前述の漸化式と一致していることがわかる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　したがって，xn^2-Dyn^2=1の最小解(x1,y1)とするとき

　　ｘn＝Ｔn（ｘ1），ｙn＝ｙ1Ｕn-1（ｘ1）

と表される．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　　ｘ^2−Dｙ^2＝１の最小解を（ｘ1，ｙ1）

　　　ｘ1^2−Dｙ1^2＝１

　　　Dｙ1^2＝x1^2-１

D＝(x1^2-１)/y1^2

　　ｘn＝Ｔn（ｘ1），ｙn＝ｙ1Ｕn-1（ｘ1）

xn^2-Dyn^2=1

xn^2-(x1^2-１)/y1^2・yn^2=1

Ｔn（ｘ1）^2-(x1^2-１)Ｕn-1（ｘ1）^2=1

ペル方程式: Tn^2-(x^2-1)Un-1^2=1の一般解は

(Tn(x),Un-1(x))で与えられる。

T1(x)=x,U0(x)=1

T1^2-(x^2-1)U0^2=x^2-(x^2-1)=1

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

(t1,u1)を使うことになるが、

xn=Tn(x1)=T~2n(t1)

yn=y1Un-1(x1)=u1U~2n-1(t1)

とも書くことができる

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝