フィボナッチ多項式をFn(x)、リュカ多項式をLn(x)で表すことにする

Ln(x)=2(-i)^nTn(ix/2)

Fn+1(x)=(-i)^nUn(ix/2)

(Ln(x))^2-(x^2+4)(Fn(x))^2=4(-1)^n

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これらは同じ漸化式

gn(x)=xgn-1(x)+gn-2(x)

を満たす。

g1(x)=1,g2(x)=x→gn(x)=Fn(x)

g1(x)=2,g2(x)=x→gn(x)=Ln(x)

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gn(x)=xgn-1(x)+gn-2(x)

α=(x+△)/2,β=(x-△)/2,△=(x^2+4)^1/2,α+β=x,α-β=△,αβ=-1

Fn(x)=(α^n-β^n)/(α-β)

Ln(x)=(α^n+β^n)

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いっぽう、Tn(x),Un(x)は漸化式

zn=2xZn-1-Zn-2

を満たしている。

z0=1,z1=xのとき、zn=Tn(x)

z0=1,z1=2xのとき、zn=Un(x)

α=(x+△),β=(x-△),△=(x^2-1)^1/2,α+β=2x,α-β=2△,αβ=1

Tn(x)=(α^n+β^n)/2

Un(x)=(α^n+1-β^n+1)/(α-β)

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hn(x)=xhn-1(x)-hn-2(x)

α=(x+△)/2,β=(x-△)/2,△=(x^2-4)^1/2,α+β=x,α-β=△,αβ=1

Vn(x)=(α^n-β^n)/(α-β)

vn(x)=(α^n+β^n)

Vn(ix)=i^(n-1)Fn(x)

vn(x)=i^nLn(x)

vn(x)=2Tn(x/2)

Vn(x)=Un-1(x/2)

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Jn(x)=Jn-1(x)+xJn-2(x),Jn(2)=Jn

jn(x)=jn-1(x)+xjn-2(x),jn(2)=jn

α=(1+△)/2,β=(1-△)/2,△=(4x+1)^1/2,α+β=△,α-β=△,αβ=-x

Jn(x)=(α^n-β^n)/(α-β)

jn(x)=(α^n+β^n)

x^nJn+1(-1/x^2)=Un(x/2)

Jn+1(x)=(-ix^1/2)^nUn(i/2x^1/2)

jn+1(x)=2(-ix^1/2)^nTn(i/2x^1/2)

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