ペル方程式: x^2-Dy^2=±1の一般解は

xn=(α^n+β^n)/2, yn=(α^n-β^n)/(2√D)で与えられる。

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ペル方程式: Tn^2-(x^2-1)Un-1^2=1の一般解は

(Tn,Un-1)で与えられる。

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ペル方程式: ln^2-(x^2+4)fn^2=4(-1)^nの一般解は

(ln,fn)で与えられる。

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ペル方程式: Tn^4-(x^2-1)^2Un-1^4-2(-1)^n(x^2-1)Un-1^2=1の一般解は

(Tn,Un-1)で与えられる。

Tn^2=(x^2-1)Un-1^2+1

Tn^4=(x^2-1)^2Un-1^4+2(x^2-1)Un-1^2+1

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(-1)^nが付くためには

Tn^2=±(x^2-1)Un-1^2+1

である必要があると思うのだが？？？

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　ｘ^2−ｍｙ^2＝±４の場合を考えてみます．

【１】基本単数

　ｍ＝１（ｍｏｄ４）のとき，基本単数を

　　ε＝（ａ＋ｂ√ｍ）／２　　　ａ＝ｂ（ｍｏｄ２）

と書けば

　　ａ^2−ｍｂ^2＝±４

となること以外は，ａ^2−ｍｂ^2＝±１と同様です．

　Ｑ（√５），Ｑ（√１３）の基本単数を求めると，それぞれ，

　　ｘ^2−５ｙ^2＝±４，複号は−４で（１，１）が最小→ε＝（１＋√５）／２

　　ｘ^2−１３ｙ^2＝±４，複号は−４で（３，１）が最小→ε＝（３＋√１３）／２

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【２】漸化式

　　　ｘ^2−ｄｙ^2＝４の最小解を（ｘ1，ｙ1），

　　　ｘ^2−ｄｙ^2＝−４の最小解を（ｒ1，ｓ1）

とおくと，漸化式

　　ｃn+2 ＝ｘ1ｃn+1−ｃn　　　（ｃ＝ｘ，ｙ，ｒ，ｓ）

　　ｃn+2 ＝ｒ1ｃn+1＋ｃn　　　（ｃ＝ｔ，ｕ）

が成り立つ．

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【３】チェビシェフ多項式

　　Ｃn（ｘ）＝２Ｔn（ｘ／２）

　　Ｓn（ｘ）＝Ｕn（ｘ／２）

と定義すると

　　ｘn＝Ｃn（ｘ1），ｙn＝ｙ1Ｓn-1（ｘ1）

　　ｔn＝Ｃ~n（ｔ1），ｕn＝ｕ1Ｓ~n-1（ｔ1）

　　ｘn＝Ｃ~2n（ｔ1），ｙn＝ｕ1Ｃ~2n-1（ｔ1）

　　ｒn＝Ｃ~2n-1（ｒ1），ｓn＝ｓ1Ｓ~2n-2（ｒ1）

と表される．

Ｃ0（ｘ）＝２　　　　　　　　 Ｃ~0（ｘ）＝１　　　　　　　　

Ｃ1（ｘ）＝ｘ　　　　　　　　 Ｃ~1（ｘ）＝ｘ　　　　　　　　

Ｃ2（ｘ）＝ｘ^2−２　　　　 Ｃ~2（ｘ）＝ｘ^2＋２ 　　　　

Ｃ3（ｘ）＝ｘ^3−３ｘ　　　 Ｃ~3（ｘ）＝ｘ^3＋３ｘ　 　　

Ｃ4（ｘ）＝ｘ^4−４ｘ^2＋２ Ｃ~4（ｘ）＝ｘ^4＋４ｘ^2＋２

Ｓ0（ｘ）＝１　　　　　　　　 Ｓ~0（ｘ）＝１　　　　　　　

Ｓ1（ｘ）＝ｘ　　　　　　　　 Ｓ~1（ｘ）＝ｘ 　　　　　　　

Ｓ2（ｘ）＝ｘ^2−１　　　　 Ｓ~2（ｘ）＝ｘ^2＋１ 　　　

Ｓ3（ｘ）＝ｘ^3−２ｘ　　　 Ｓ~3（ｘ）＝ｘ^3＋２ｘ 　　

Ｓ4（ｘ）＝ｘ^4−３ｘ^2＋１ Ｓ~4（ｘ）＝ｘ^4＋３ｘ^2＋１

　なお，

　　α＝（１＋√５）／２，β＝（１−√５）／２

とおくと，フィボナッチ数

　　Ｆn＝１／√５｛α^n+1−β^n+1｝

とリュカ数

　　Ｌn＝α^n＋β^n

に対して，関係式

　　Ｆn+1Ｆn-1−Ｆn^2＝（−１）^n

　　Ｌn+1Ｌn-1−Ｌn^2＝５（−１）^n+1

　　Ｃn（ｉ）＝ｉ^nＬn

　　Ｓn（ｉ）＝ｉ^nＦn

が示される．

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この倍角・半角公式の意味するものは何か？

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