数学者ハーディがラマヌジャンに会いに行ったとき，タクシーナンバーが１７２９という何の変哲もない数であったと彼に伝えたところ，ラマヌジャンはそれは２つの３乗数で２通りに表せる最小の数だと答えたというエピソードは大変有名である．

　　１７２９＝１２^3＋１^3＝１０^3＋９^3

　モジュラ関数

　　ｊ（ｚ）＝ｅｘｐ（−２ｉπｚ）＋７４４＋１９６８８４ｅｘｐ（２ｉπｚ）＋・・・

において，

　　ｊ（ｉ）＝１７２８＝１２^3

この性質が次の逸話のもとになっている．

　フレニクルは１２^3＋１^3＝１０^3＋９^3のほかにも

　　９^3＋１５^3＝２^3＋１６^3

　　１５^3＋３３^3＝２^3＋３４^3

　　１６^3＋３３^3＝９^3＋３４^3

　　１９^3＋２４^3＝１０^3＋２７^3

を見つけている．

　その後，方程式

　　ｘ^3＋ｙ^3＝ｕ^3＋ｖ^3

　　ａ^4＋ｂ^4＝ｃ^4＋ｄ^4

　　ａ^5＋ｂ^5＋ｃ^5＝ｄ^5＋ｅ^5＋ｆ^5

　　ａ^6＋ｂ^6＋ｃ^6＝ｄ^6＋ｅ^6＋ｆ^6

のパラメータを用いた解が見つかっている．

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　エルキースによるオイラー予想の反例

　　２６８２４４０^4＋１５３６５６３９^4＋１８７９６７６０^4＝２０６１５６７３^4

は，ｘ^4−ｙ^4＝ｚ^4＋ｔ^2に関する楕円曲線のｕ＝−５／８に対応する最小解であるが，ｕ＝−９／２０に対応する最小解は

　　９５８００^4＋２１７５１９^4＋４１４５６０^4＝４２２４８１^4

である．

　一般に

　　Σａ^s＝Σｂ^s

のパラメータ解は，

［１］２≦ｓ≦４，ｍ＝２

［２］５≦ｓ≦６，ｍ＝３

のときに得られている．

　ｓ＝７，ｍ＝４あるいはｓ＝５，ｍ＝２（ａ^5＋ｂ^5＝ｃ^5＋ｄ^5）の数値解は知られていなかったが，

　　１４９^7＋１２３^7＋１４^7＋１０^7＝１４６^7＋１２９^7＋９０^7＋１５^7

が見いだされている．

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　オイラーは，フェルマー予想の条件をゆるめて一般化した問題

『ｘ1^n＋ｘ2^n＋・・・＋ｘn-1^n＝ｘn^n，たとえば，ｘ^4＋ｙ^4＋ｚ^4＝ｗ^4にも自然数解がない』と予想しました．

　この不定方程式には整数解がないであろうことが長い間予想されていて，モーデルはコンピュータを使ってｗ＜２２００００の範囲でこの問題は成立することを紹介しています．

　ところが，オイラーの推測からおよそ２００年後，コンピュータを使って

２７^5＋８４^5＋１１０^5＋１３３^5＝１４４^5 　（１９６６年）

９５８００^4＋２１７５１９^4＋４１４５６０^4＝４２２４８１^4 　（１９８８年）

２６８２４４０^4＋１５３６５６３９^4＋１８７９６７６０^4＝２０６１５０７３^4 　（１９８８年）

などのオイラー予想に対する反例が発見されました．

　さらに，エルキースにより，ｘ^4＋ｙ^4＋ｚ^4＝ｗ^4には無数の解があることが楕円曲線の理論に基づいて示されました（１９８８年）．

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