３／ｎ＝１／ｘ＋１／ｙ＋１／ｚ，　　ｘ≦ｙ≦ｚ

において，ｎが３の倍数ならばｘ＝ｙ＝ｚ＝ｎとすれがよい．

　ｎが３の倍数でないとき，３つの単位分数の和で表されるだろうか？　３つの単位分数の和で表されるｎをすべて求めてみたい．

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　　ｎ（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）＝３ｘｙｚ

　　ｘ（ｎｙ＋ｎｚ−３ｙｚ）＝ｎｙｚ

ｘ≧１であるから，

　　ｎｙ＋ｎｚ−３ｙｚ≦ｎｙｚ

　　ｎ（ｙ−１）（ｚ−１）−ｎ＋３ｙｚ≧０

　　ｎ≦３ｙｚ．同様にｎ≦３ｘｙ，ｎ≦３ｚｘ

としてもよいが，

　　ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ≧３（ｘｙｚ）^2/3

を使うのが常套だろう．

　　ｎ（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）＝３ｘｙｚ≧３ｎ（ｘｙｚ）^2/3

　　ｎ≦（ｘｙｚ）^1/3≦ｚ

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　結局，当たり前のことがわかっただけであるが，

［１］４／ｎ＝１／ｘ＋１／ｙ＋１／ｚ，　　ｘ≦ｙ≦ｚの場合は

　　ｎ（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）＝４ｘｙｚ≧３ｎ（ｘｙｚ）^2/3

　　ｎ≦４／３・（ｘｙｚ）^1/3≦４ｚ／３

［２］５／ｎ＝１／ｘ＋１／ｙ＋１／ｚ，　　ｘ≦ｙ≦ｚの場合は

　　ｎ（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）＝５ｘｙｚ≧３ｎ（ｘｙｚ）^2/3

　　ｎ≦５／３・（ｘｙｚ）^1/3≦５ｚ／３

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