（その４０）では，７７より大きいすべての数（７７は含まない）は，いくつかの相異なる整数の和に書いて，しかもそれらの逆数の和が１となるようにできることを紹介した．たとえば，

　　７８＝２＋６＋８＋１０＋１２＋４０

　　１＝１／２＋１／６＋１／８＋１／１０＋１／１２＋１／４０

　　１００＝２＋６＋７＋８＋２１＋５６

　　１＝１／２＋１／６＋１／７＋１／８＋１／２１＋１／５６

　７７は５がだぶってしまう．

　　７７＝３＋４＋５＋５＋６０

　　１＝１／３＋１／４＋１／５＋１／５＋１／６０

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　古代エジプト人はすべての分数を分子が１である分数（と２／３）の和で表した．たとえば，

　　２／９７＝１／５６＋１／６７９＋１／７７６

　その表し方は一意ではない．

　　２／７＝１／４＋１／２８

　　２／７＝１／５＋１／１３＋１／１１５＋１／１０４６５

　エルデシュは

　　４／ｎ＝１／ｘ＋１／ｙ＋１／ｚ

すべてのｎ＞１に対し，４／ｎは３つの単位分数の和で表されると予想した．一方，シェルピンスキーは

　　５／ｎ＝１／ｘ＋１／ｙ＋１／ｚ

すなわち，５／ｎは３つの単位分数の和で表されると予想した．

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