縮小三角形の相似条件式は

　　ａ^2＋λｂ^2−（λ＋１）ｃ^2＝０

である．もちろんａ＝ｂ＝ｃはこれを満足するから，それ以外にも無限に整数解（ａ，ｂ，ｃ）があることがわかる．

　渡邊芳行氏は

　　ａ^2＋λｂ^2＝（λ＋１）ｃ^2

について計算し，λ＝２の場合だけでも

　　（ａ，ｂ，ｃ）＝（５，１３，１１），（５，２３，１９），（１９，６１，５１），（１９，７１，５９），（２３，３７，３３），（２５，４７，４１），（２９，５９，５１），（４３，９７，８３），（４７，８３，７３），（５３，７３，６７）

の１０組を示してくれた．

　今回のコラムではλ＝１の場合，すなわち，

　　ａ^2＋ｂ^2＝２ｃ^2

について，縮小三角形とはまったく異なる幾何学的な解釈を導入したい．なお，（１，１，１）はａ^2＋ｂ^2＝２ｃ^2を満足することから，この不定方程式にも無限に解ががある．

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【１】円に内接する正方形

　円に内接する正方形を考える．とはいっても，

　　２√２＜π＜４

を示したいからではない．

　円と正方形の隙間には，明らかに同じ大きさの正方形を挿入することはできない．そこで，２×２の正方形を円に内接させる．この場合も同じ大きさの正方形をさらに挿入することはできない．３×３，４×４でも同じことがいえる．

　しかし，５×５の正方形を円に内接させると，隙間に小正方形１個ずつ計４個をぴったりはめ込むことができる．

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【２】図の幾何学的解釈

　この図は円の直径上に小正方形が７個並んでいる．この小正方形の１辺の長さを１とすると，円の直径の２乗は１^2＋７^2である．また，５×５の大正方形の方を考えてみると，円の直径の２乗は５^2＋５^2である．

　つまり，５０は２つの平方数の和として異なった２通りの表現ができる最小の数ということになる．

　　５０＝１^2＋７^2＝５^2＋５^2

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