円周率の近似計算は円に対して内側と外側からそれぞれ内接する多角形を用いますが，周長と面積を使う場合で多少事情が異なります．

　一般に，凸ｎ角形の面積Ｓ，周長Ｌ，内接円の半径ｒ，外接円の半径Ｒの間には，次の不等式が成り立ちます．

　　２ｎｒｔａｎ（π／ｎ）≦Ｌ≦２ｎＲｓｉｎ（π／ｎ）

　　ｎｒ^2ｔａｎ（π／ｎ）≦Ｓ≦１／２ｎＲ^2ｓｉｎ（２π／ｎ）

　　Ｒ／ｒ＝ｓｅｃ（π／ｎ）

　これを円周率をメインにして書くと，それぞれ

　　ｎｓｉｎ（π／ｎ）≦π≦ｎｔａｎ（π／ｎ）

　　ｎｓｉｎ（π／ｎ）ｃｏｓ（π／ｎ）≦π≦ｎｔａｎ（π／ｎ）／ｃｏｓ（π／ｎ）

となって，周長を使った方が近似度が高くなることがわかります．

　また，アルキメデスはｎ＝４ではなくｎ＝６から始めていますが，ここでもアルキメデスは失敗しなかったというわけです．

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【１】周長の場合

［１］三角形

　　３√３／２＜π＜３√３

［２］正方形

　　２√２＜π＜４

［３］正六角形

　　３＜π＜２√３

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【２】面積の場合

［１］三角形

　　９／４＜π＜６

［２］正方形

　　２＜π＜４√２

［３］正六角形

　　３√３／２＜π＜４

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