【１】部分分数分解

［１］部分分数分解

　πｃｏｓπｚ＝１／ｚ＋Σ｛１／（ｚ−ｎ）＋１／ｚ｝

［２］微分

　π^2／（ｓｉｎπｚ）^2＝１／ｚ^2＋Σ１／（ｚ−ｎ）^2

［３］ワイエルシュトラスのペー関数

　ｐ（ｚ）＝１／ｚ^2＋Σ｛１／（ｚ−ω）^2−１／ω^2｝

［４］アイゼンシュタイン級数

　Ｅk（ｚ）＝Σ１／（ｍｚ＋ｎ）^k

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】因数分解

［１］ｓｉｎπｚ／πｚ＝Π（１−ｚ^2／ｎ^2）

［２］１／Γ（ｚ）＝ｚｅｘｐγｚΠ（１＋ｚ／ｎ）ｅｘｐ（−ｚ／ｎ）

［３］ワイエルシュトラスのシグマ関数

　σ（ｚ）＝ｚΠ（１−ｚ／ω）ｅｘｐ（ｚ／ω＋２ｚ^2／ω^2）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【３】おまけ

［３］ワイエルシュトラスのシグマ関数

　σ（ｚ）＝ｚΠ（１−ｚ／ω）ｅｘｐ（ｚ／ω＋２ｚ^2／ω^2）

［４］アイゼンシュタイン級数

　Ｅk（ｚ）＝Σ１／（ｍｚ＋ｎ）^k

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　ワイエルシュトラスのシグマ関数（ワイエルシュトラス積）はガウスの整数に関連していて，

　σ（１／２）＝１／２Π（１−１／２（ｍ＋ｎｉ））ｅｘｐ（１／２（ｍ＋ｎｉ）＋１／８（ｍ＋ｎｉ）^2）

＝２^5/4π^1/2ｅｘｐ（π／８）／｛Γ（１／４）｝^2

＝０．４７４９４９３８０２・・・

　ワイエルシュトラスのシグマ関数はπとｅｘｐ（π）とΓ（１／４）が代数的に独立であることを示す手段になり得る．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

ワイエルシュトラスのツェータ関数とペー関数はシグマ関数を使って

ζ(u)=d/du・logσ(u)

p(u)=-d^2/du^2・logσ(u) と定義される

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

σ(u)=2ω/2πiexp(η'u^2/2ω')θ1(u/ω')/θ1'(0)

θ1(v)=iΣexp(iπτ(n-1/2)^2+(2n-1)(v+1))

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝