点Aと点Bの重みがわかっていて、その間にある点Pの重みを推定したい。

点Aと点Pの距離をa、点Aと点Pの距離をbとすると

P=(aB+bA)/(a+b)　

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点Aと点B,点Cの重みがわかっていて、その間にある点Pの重みを推定したい。

点Aと点Bの距離をc、点Bと点Cの距離をa,点Cと点Aの距離をb

点Aと点Pの距離をd、点Bと点Pの距離をe,点Cと点Pの距離をfとすると

P=(A△PBC+B△PCA+C△PAB)/△ABC

ヘロンの公式より

△ABC＝1/4・{（ａ＋ｂ＋ｃ）（ｂ＋ｃ−ａ）（ｃ＋ａ−ｂ）（ａ＋ｂ−ｃ）}^1/2

△PBC＝1/4・{（ａ＋ｅ＋ｆ）（ｅ＋ｆ−ａ）（ｆ＋ａ−ｅ）（ａ＋ｅ−ｆ）}^1/2

△PCA＝1/4・{（ｄ＋ｂ＋ｆ）（ｂ＋ｆ−ｄ）（ｆ＋ｄ−ｂ）（ｄ＋ｂ−ｆ）}^1/2

△PAB＝1/4・{（ｄ＋ｅ＋ｃ）（ｅ＋ｃ−ｄ）（ｃ＋ｄ−ｅ）（ｄ＋ｅ−ｃ）}^1/2

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点Aと点B,点C、点Dの重みがわかっていて、その間にある点Pの重みを推定したい。

6辺の長さをa,b,c,d,e,f

点Aと点Pの距離をg、点Bと点Pの距離をh,点Cと点Pの距離をi,点Dと点Pの距離をj,点Cと点Pの距離をi,各体積を△で表すと

P=(A△PBCD+B△PCAD+C△PABD+D△PABC)/△ABCD

体積はオイラーの公式より求めることができる

　オイラーの公式は四面体に対する空間のヘロンの公式であり，６辺の長さをａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ，体積をΔとして

　　（１２Δ）^2＝ａ^2ｄ^2（ｂ^2＋ｃ^2＋ｅ^2＋ｆ^2−ａ^2−ｄ^2）

　　　　　　　　　＋ｂ^2ｅ^2（ｃ^2＋ａ^2＋ｆ^2＋ｄ^2−ｂ^2−ｅ^2）

　　　　　　　　　＋ｃ^2ｆ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2＋ｅ^2−ｃ^2−ｆ^2）

　　　　　　　−ａ^2ｂ^2ｃ^2−ａ^2ｅ^2ｆ^2−ｄ^2ｂ^2ｆ^2−ｄ^2ｅ^2ｃ^2

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