１辺の長さが１の正ｎ角形と正方形の側面からなるアルキメデス角柱の底面に対して上面をひねることによって，１辺の長さが１の正三角形の側面をもつアルキメデス反角柱に変換する．その際，断面積は増加するが，高さは減少する．それでは，体積はどうなるのであろうか？

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【１】反角柱の体積

　1辺の長さ1の正ｎ角形の外接円の半径をｒとすると

　　ｒｓｉｎ（π／ｎ）＝１／２　→　ｒ＝１／２ｓｉｎ（π／ｎ）

また，反角柱の高さは

　　Ｈ^2＝１^2−（２ｒｓｉｎ（π／２ｎ））^2

　反角柱の高さＨｔ（０≦ｔ≦１）での断面積を計算する．切り口は２ｎ角形になるが，その辺の長さはｃ＝ｔ，ｄ＝１−ｔで周長は常に一定＝ｎであることがわかる．

　それぞれの辺と中心軸との距離は

　　ｃ’＝（ｒ−ｒｃｏｓ（π／ｎ））（１−ｔ）＋ｒｃｏｓ（π／ｎ），

　　ｄ’＝（ｒ−ｒｃｏｓ（π／ｎ））ｔ＋ｒｃｏｓ（π／ｎ）

であるから，断面積は

　　ｓ＝ｎ／２（ｃｃ’＋ｄｄ’）

　　　＝ｎ（（ｒ−ｒｃｏｓ（π／ｎ））ｔ（１−ｔ）＋１／２・ｒｃｏｓ（π／ｎ｝

　体積は

　　ｖ＝Ｈ∫(0,1)ｓｄｔ

　　　＝ｎＨ｛（ｒ−ｒｃｏｓ（π／ｎ））／６＋１／２・ｒｃｏｓ（π／ｎ）｝

　　　＝ｎＨ／６（ｒ＋２ｒｃｏｓ（π／ｎ））

ただし，

　　ｒ＝１／２ｓｉｎ（π／ｎ）

　　Ｈ＝（１−（２ｒｓｉｎ（π／２ｎ））^2）^1/2

　　　＝（１−（１／２ｃｏｓ（π／２ｎ））^2）^1/2

で与えられる．

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