フェルマーは２^2^n＋１の形の数は素数であると考えたが，ｎ＝５の場合，

　　２^32＋１＝６４１・６００４１７

と因数分解されることを，オイラーが見つけた（１７４２年）．フェルマーの誤りだったわけである．ところで，・・・

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　　６４１＝２０・２^5＋１

　一般に，２^2^n＋１が合成数なら，その約数は

　　ｋ・２^n＋１

の形になるという定理がある．そのため，ｋ・２^n＋１の形の素数は研究されてきたのであるが，

　　７８５５７・２^n＋１

はｎにどんな数をいれても合成数となることがわかっている．どの数も３，５，７，１３，１９，３７，７３のどれかで割り切れてしまうのである．

　なお，

　　ｎ・２^n＋１

の形の数をカレン数という．ｎ＝１４１は最小のカレン素数である．カレン素数が無限にあるかどうかはわかっていないが，２より大きいすべての素数に対してｎ・２^n＋１がｐで割り切れるようなｎは無限にあることはわかっている．

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