中川宏さんは空間充填図形を追い求めてきた．たとえば，中川六面体の２分割体は立方体，菱形１２面体，切頂八面体に共通する３重の空間充填図形である（その１４）．この図形は単独空間充填図形ではないが，同数の鏡像体で立方体，菱形１２面体，切頂八面体に組み換えることができる．また，あるときは日常的な発想を超えた新しい切り方による図形を探している（その１６）．中川さんが用いている方法はいずれの際も「空間充填多面体の分割」に基づくものである．

　ところで，平行多面体とは平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる単独の多面体であって，立方体，６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体，切頂８面体の５種類しかない．これら５種類の図形（フェドロフの平行多面体）は３次元格子の幾何学的分類であり，５種類の正多面体（プラトン立体）ほどよく知られていないが，少なくとも同じ程度に重要であると考えられる．

　立方体，菱形１２面体，切頂八面体は中川六面体の２分割体に分割することがわかったが，それでは残りの２つ，６角柱，長菱形１２面体はどうなっているのだろうか？　ただし，６角柱，長菱形１２面体の場合は等辺平行多面体であることは要請しないことにする．この仮定があると難しい問題になるからである．今回のコラムでは中川さんによる６角柱，長菱形１２面体の分割を紹介したい．

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【１】長菱形１２面体

　これまでの結果をまとめると

　　工藤三角錐（２／２４立方体）×２４→菱形１２面体

　　工藤三角錐の２分割体（１／２４立方体）×２４→立方体

　　工藤三角錐の４分割体（中川六面体）×７２→切頂八面体

であるが，以下の写真より

　　工藤三角錐の２分割体（１／２４立方体）×７２→長菱形１２面体

となっていることがおわかり頂けるはずである．

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【２】六角柱

　菱形１２面体は六角柱から木工製作することができるから，ここでは菱形１２面体を分割して六角柱を作ることを考えてみる．

　菱形１２面体の３価の頂点を天地に配して，頂点と辺の３等分点を通る水平面で水平断する（この切断は菱形１２面体を菱形台形１２面体に変形させるときに用いられるものである）．

　さらに稜線に沿ってする３等分すると菱形１２面体の１２等分体ができる．

　その３つを貼り付けると，もとの菱形１２面体の半分の高さ（１辺の長さの４／３）の六角柱ができる．これで菱形１２面体と六角柱の分解合同が示された．

　ところで，菱形１２面体は２４個の工藤三角錐よりなるので，菱形１２面体の１２等分体となるこの６面体は工藤三角錐の２個分に相当する．そこで，工藤三角形を変形させて，菱形１２面体の１２等分体の左半分（右半分）と作ることを考えよう．

　工藤三角錐は１組の辺だけが直交する四面体である．直交する辺の中点を通り，直交する辺にまたがる２つの三角形の頂点と辺の３等分点を通る平面で，工藤の三角錐を切断する．そして，この工藤三角錐の１／６にあたる部分を立体蝶番返しをすると，菱形１２面体の１２等分体の左半分（右半分）ができる．両方を併せると菱形１２面体の１２等分体になる．

　このアイディアも中川さんによる超日常的な発想のひとつであるが，このことから

　　工藤三角錐の１／６蝶番返し×２×１２→６角柱

となっていることがおわかり頂けるだろう．

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【３】まとめ

　フェドロフの空間充填平行多面体は，工藤三角錐を中心にまとめることができて

　　工藤三角錐（２／２４立方体）×２４→菱形１２面体

　　工藤三角錐の２分割体（１／２４立方体）×２４→立方体

　　工藤三角錐の４分割体（中川六面体）×７２→切頂八面体

　　工藤三角錐の２分割体（１／２４立方体）×７２→長菱形１２面体

　　工藤三角錐の１／６蝶番返し×２×１２→６角柱

となる．　

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