【１】θ（ｘ）≦Ａ1ｘの証明

　２^k-1≦ｘ＜２^kとする．

　　（２ｎ，ｎ）＜Σ（２ｎ，ｊ）＝（１＋１）^2n＝４^n

区間（ｎ，２ｎ］に現れるすべての素数の積は（２ｎ，ｎ）を割り切るから，

　　θ（２ｎ）−θ（ｎ）＝Πｐ≦ｌｏｇ（２ｎ，ｎ）＜ｎｌｏｇ４

　　θ（２^k）＝Σ｛θ（２^j+1）−θ（２^j）｝＜ｌｏｇ４Σ２^j＜ｌｏｇ４・２^k

　　θ（ｘ）≦θ（２^k）＜ｌｏｇ４・２^k＜ｘｌｏｇ１６

→Ａ1＝ｌｏｇ１６＝２．７７２８２５

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【２】θ（ｘ）≧Ａ3ｘの証明

　（２ｎ，ｎ）＝（２ｎ）！／（ｎ！）^2

を割り切る素数ｐの最大ベキは

　　Σ（［２ｎ／ｐ^k］−２［ｎ／ｐ^k］

和の各項は０または１であるから

　　２^n≦２ｎ／ｎ・（２ｍ−１）／（ｎ−１）・・・ｎ／１＝（２ｎ，ｎ）≦（２ｎ）^π(2n)

　　ｎｌｏｇ２≦π(2n)ｌｏｇ（２ｎ）

　Ａ3は１／２ｌｏｇ２＝０．３６４よりちいさければ，どのような値でも取れることになる．

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