１８５２年，チェビシェフは十分大きなｘについて

　　π（ｘ）／（ｘ／ｌｏｇｘ）

が０．９２１２９と１．１０５５５の間にあるという結果を得ています．

　　ｃ1ｘ／ｌｏｇｘ＜π（ｘ）＜ｃ2ｘ／ｌｏｇｘ

　チェビシェフの定理は，大きな数の場合，この近似値の誤差は１１％以下であるというものですが，もちろん現実にはずっと小さいわけです．

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　以下の不等式も，本質的にチェビシェフの議論に従う．

　　θ（ｘ）＝Σｌｏｇｐ

　　φ（ｘ）＝Σθ（ｘ^1/n）

　　Ｔ（ｘ）＝Σｌｏｇｎ＝ｌｏｇ（ｘ！）

　　α（ｘ）＜φ（ｘ）＜φ（ｘ／６）＋α（ｘ）

　　Ａ2ｘ≦φ（ｘ）≦Ａ1ｘ

　　Ａ3ｘ≦θ（ｘ）≦Ａ1ｘ

は

　　φ（ｘ）≦Σ｛φ（ｘ／６^j）−φ（ｘ／６^j+1）｝＜Σα（ｘ／６^j）

≦０．９３５３（１＋１／６＋１／６^2＋・・・）ｘ≦１．１２２４ｘ

　　Ａ1＝１．１２２４

同様に，

　　Ａ2＝０．９０７２，Ａ3＝０．７３

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　チェビシェフの漸近評価では

　　ｃ1＝０．９２１２９，ｃ2＝１．１０５５５

であるが，シルベスターはチェビシェフの使った関数よりも複雑な関数を使うことによって

　　ｃ1＝０．９５６，ｃ2＝１．０４５　　（誤差は５％以下）

　　Ａ1＝１．１０６６７，Ａ2＝０．９９２６

というよい値を得ています．

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