正接のｎ倍角公式は，パスカルの三角形を用いて，次のように書くことができる．

　　ｔａｎｎα＝（nC1ｔａｎα−nC3ｔａｎ^3α＋nC5ｔａｎ^5α−・・・）／（nC0−nC2ｔａｎ^2α＋nC4ｔａｎ^4α−・・・）

　分母・分子の係数は，２項係数の符号が対で交代するパスカルの正接三角形

　　　　　　　　　　　　１

　　　　　　　　　　１　　　１

　　　　　　　　１　　　２　　　−１

　　　　　　１　　　３　　　−３　　　−１

　　　　１　　　４　　　−６　　　−４　　　１

　　１　　　５　　−１０　　−１０　　　５　　　１

の形に並べることができる．ほとんどの教科書から消えてしまったが，美しい公式である．

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tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A+B+C)=(tan(A+B)+tanC)/(1-tan(A+B)tanC)

={(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)+tanC}/{1-(tanA+tanB)tanC/(1-tanAtanB)}

={(tanA+tanB)+(1-tanAtanB)tanC}/{(1-tanAtanB)-(tanA+tanB)tanC}

={(tanA+tanB+tanC)-tanAtanBtanC}/{1-tanAtanB-tanBtanC-tanCtanA}

三角形ではA+B+C=π

{(tanA+tanB+tanC)-tanAtanBtanC}=0

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tan(A/2+B/2+C/2)=(tan(A+B)+tanC)/(1-tan(A+B)tanC)

={(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)+tanC}/{1-(tanA+tanB)tanC/(1-tanAtanB)}

={(tanA+tanB)+(1-tanAtanB)tanC}/{(1-tanAtanB)-(tanA+tanB)tanC}

={(tanA/2+tanB/2+tanC/2)-tanA/2tanB/2tanC/2}/{1-tanA/2tanB/2-tanB/2tanC/2-tanC/2tanA/2}

三角形ではA+B+C=π

{1-tanA/2tanB/2-tanB/2tanC/2-tanC/2tanA/2}=0

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