自然数Ｎの正の約数の和をσ（Ｎ）で表すことにします．Ｎが素数ならば，　　σ（Ｎ）＝１＋Ｎ

完全数ならば

　　σ（Ｎ）＝２Ｎ

が成り立ちます．

　　σ（６）＝１＋２＋３＋６＝１２＝２・６

　　σ（２８）＝１＋２＋４＋７＋１４＋２８＝５６＝２・２８

　　σ（４９６）＝（１＋２＋２^2＋２^3＋２^4）（１＋３１）＝９９２＝２・４９６

　ユークリッドは「原論」の中で，２^n−１が素数ならば２^n-1（２^n−１）は完全数であることを示し，さらにオイラーは偶数の完全数はこの形に限ることを証明しました．偶数の完全数は無限に存在するか，奇数の完全数は存在するかは未解決の難問になっています．

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［１］奇数の完全数は平方数に奇数をひとつかけたものである．

［２］奇数の完全数を

　　ｐ^aｑ^bｒ^c・・・

とすると，ｐ，ｑ，ｒ，・・・は４ｎ＋１型素数で，ａ，ｂ，ｃが偶数出なければならない．

［３］少なくとも８個の素因数をもつ．

［４］ある素数の累乗（１０^18よりおおきいもの）で割り切れる．

［５］最大の素因数は３０００００以上

［６］２番目の素因数は１０００以上

［７］１０^9118以下の奇数の完全数はある素数の６乗で割り切れる．

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［Ｑ］偶数の完全数は三角数である．

［Ａ］２^n-1（２^n−１）＝２^n（２^n−１）／２

　これは最初の（２^n−１）個の自然数であるから，定義より三角数である．

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