ラグランジュの定理：どんな自然数でも

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2

の形に書ける．

　実際に４平方和を必要とする数は

　　４^n（８ｍ＋７）

型の整数であり，それ以外は高々３平方和で済む．それでは，４^n（８ｍ＋７）型整数は全整数のうちどれだけを占めるだろうか？

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　　８ｍ＋７→１／８

　　４^n→１＋１／４＋１／４^2＋１／４^3＋・・・

　　１／８・（１＋１／４＋１／４^2＋１／４^3＋・・・）＝１／８・１／（１−１／４）＝１／６

　すべての整数のうち，ちょうど１／６にあたる．

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［補］３平方和の定理

　　「正整数ｎが３つの平方数の和として表せる←→４^m（８ｋ＋７）の形をした数ではない．」

　ｎ≠４^m（８ｋ＋７）はｎが高々３個の平方数で表されるための必要十分条件です．ガウスの定理ともルジャンドルの定理とも呼ばれますが，ルジャンドルは２次形式ａｘ^2＋ｂｙ^2＋ｃｚ^2の研究を通して，より一般的な３元２次形式論としてこの結果を得ています．

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