１８４５年にフランスの数学者ベルトランは任意の数ｎと２ｎの間には少なくとも一つの素数ｐが存在する（ｎ＜ｐ≦２ｎ），同じことですが素数ｐの次の素数は２ｐより小さい（ｐk+1 ＜２ｐk ）という予想を立てました．

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【１】ｎと２ｎの間に素数がある

　５０年以上たって，ロシアの数学者チェビシェフがベルトランの仮説を証明しました．この証明は彼が実に１８才のときだったそうですから，「栴檀は双葉よりの芳し」の諺のごとくです．チェビシェフの定理によって，素数の分布には何らかの秩序が存在していることになります．

　さらに，チェビシェフは１８５２年に，十分大きなｘについてπ（ｘ）／（ｘ／ｌｏｇｘ）がｃ1＝０．９２１２９とｃ2＝１．１０５５５の間にあるという結果を得ています．

　　ｃ1ｘ／ｌｏｇｘ＜π（ｘ）＜ｃ2ｘ／ｌｏｇｘ

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【２】ｎとｋｎの間に素数がある

［１］ｋ＝３／２

　実はチェビシェフはもっと狭い範囲の中にも必ず素数が存在することを証明したのですが，１９１１年，イタリアの数学者ボノリスがｎと３ｎ／２の間にある素数の個数の近似式を導きました．

［２］ｋ＝４／３

　ｎ≧１１８のとき，ｎ以上４ｎ／３以下に，４ｋ±１型，６ｋ±１型素数が必ず含まれることが知られている．

［３］ｋ＝９／８

　一方，ｎ≧４８のとき，ｎ以上９ｎ／８以下に必ず素数があることが知られている．

［４］ｋ＝１＋α

　十分大きなｎに対し，

　　ｎ＜Ｐ＜（１＋α）ｎ

を満たす素数Ｐが少なくともひとつ存在する．

　チェビシェフ・シルベスターの定数（１８９１年）と呼ばれるものは

　　α＝０．０９２

であるが，素数定理（アダマール・デュ・プーサンの定理）によると，ｘが十分大きければどんなαに対しても，

　　ｎ＜Ｐ＜（１＋α）ｎ

は成り立つから，この数にはたいした意味はなくて歴史的興味があるにすぎない．

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