５５より大きい数は，４ｎ＋３型素数の和で表される．１６１より大きい数は，６ｎ−１型の異なる素数の和で表される．２０５より大きい数は，６ｎ＋１型の異なる素数の和で表される．それに対して，４以上のどんな偶数も必ず２個の素数の和として表される（ゴールドバッハ予想）

　ところで，ゴールドバッハ予想は２つの異なる予想に分けられる．

［１］偶数ゴールドバッハ予想

　　２より大きいすべての偶数は２つの素数の和である．

［２］奇数ゴールドバッハ予想

　　５より大きいすべての奇数は３つの素数の和である．

　［１］から［２］が導き出せるが，［２］→［１］は成り立たない．

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【１】シュニレルマンの定理（１９３０年）

　１より大きいすべての整数は最大ｃ個の素数の和であるような定数ｃが存在する．（この数はシュニレルマンの定数と呼ばれる）

　奇数ゴールドバッハ予想はｃ＝４，偶数ゴールドバッハ予想はｃ＝３というわけである．

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【２】ラマーレの定理（１９９５年）

　すべての偶数は最大６つの素数の和である．（ｃ＝７）

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【３】タオの定理（２０１２年）：査読中

　すべての奇数は最大５つの素数の和である．（ｃ＝６）

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