１／２４切頂八面体である「中川の六面体」９６ピースで菱形十二面体を組み立てることができる．このことについて，秋山仁先生は「中川の六面体は空間充填多面体の原子と考えられる．数でいえば素数のようなもの」と話しておられた．

　これまでわかっている空間充填図形の原子についてまとめてみよう．

　　立方体　　　　　　　　１／６立方体×６

　　菱形１２面体　　　　　１／６立方体×１２

　　立方体　　　　　　　　１／８切頂八面体×２（１６）

　　切頂八面体　　　　　　１／８切頂八面体×８

　　菱形１２面体　　　　　１／２４切頂八面体（中川の六面体）×９６

　　切頂八面体　　　　　　１／２４切頂八面体（中川の六面体）×２４

　すなわち，立方体と菱形１２面体に共通する原子は１／６立方体，立方体と切頂八面体に共通する原子は１／８切頂八面体，菱形１２面体と切頂八面体に共通する原子は１／２４切頂八面体（中川の六面体）である．

　それでは，３種類の空間充填図形（立方体・菱形１２面体・切頂八面体）に共通する原子は何かと考えるのは自然な成り行きであろう．

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【１】分割のアイディア

　切頂八面体を六角形面の中心を通るように中心から放射状に六分割するとダイヤモンドの指輪のような９面体（４^5５^4）ができる．このようなカットをａとする．

　また，切頂八面体の正方形面が田の字になるように八分割すると７面体（３^1４^4５^2）が得られる．このようなカットをｂとする．

　カットｂでは正方形面が田の字になるように八分割したが，もうひとつの八分割として，切頂八面体の正方形面の対角線でマスの字型になるような切り方も考えられる．これをカットｃと呼ぶことにする．

　カットｃを施された切頂八面体を２つ併せると元の切頂八面体の体積の１／４の立方体ができる．立方体を平面で切り分けると三角形，四角形，五角形，六角形などの断面が現れるが，断面が正六角形になるような切り方がカットｃで，それは前述した１／８切頂八面体なのである．

　また，カットａに引き続いてカットｂを施すと，正方形１枚，大きな凧形１枚，小さな凧形２枚，不等辺四角形２枚からなる６面体（４^6）となる．これが「中川の六面体」である．

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【２】空間充填図形の素粒子

　切頂八面体の六分割（カットａ）と切頂八面体の八分割（カットｂ，カットｃ）をすべて組み合わせると，３種類の空間充填図形（立方体・菱形１２面体・切頂八面体）に共通する原子が得られるのではないか・・・実に素朴なアイディアが浮かんだ．早速，中川宏さんにお願いして木工製作してもらうことにした．

　ａ×ｂは中川の六面体であるが，ａ×ｂ×ｃを施すことによって得られる図形は中川六面体の２分割体となる五面体であった．この五面体には１対の鏡像体があり，６対（４８対）併せると立方体，２４対で切頂八面体，９６対で菱形１２面体ができた．

　なお，中川宏さんにはａ×ｃ，ｂ×ｃについても検討してもらったのだが，ａ×ｃは立方体の６等分体になるものの，ｂ×ｃは面白い形にはならなかったということである．

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【３】まとめ

　中川六面体の２分割体は立方体・菱形１２面体・切頂八面体に対する三重の空間充填図形である．ただし，中川六面体の２分割体には１対の鏡像体があり，３種類の空間充填図形に共通する「原子」というよりも「素粒子」が得られたことになる．秋山仁先生の言葉を借りれば「中川六面体の２分割体（五面体）は空間充填図形の正反の素粒子」と考えることができるのである．

　この空間充填図形の素粒子についてまとめておきたい．

　　立方体　　　　　　　　中川六面体の２分割体×２×６（４８）

　　菱形１２面体　　　　　中川六面体の２分割体×２×９６

　　切頂八面体　　　　　　中川六面体の２分割体×２×２４

　ところで，空間充填図形の問題は１９世紀，シェーンフリースにより２３０通りの空間群が解明されたことで本質的にはすべて解決したといえるのかもしれないが，工藤の空間充填四面体や中川六面体，その２分割体のような具体的な例についてはかなりの部分が未解決と思える．今後も引き続き調べてみたいと思う．

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