ｘ^2＋ｙ^2＝（ｘ＋ｙｉ）（ｘ−ｙｉ）

　　ｘ^2＋２ｙ^2＝（ｘ＋ｙ√−２）（ｘ−ｙ√−２）

　　ｘ^2−２ｙ^2＝（ｘ＋ｙ√２）（ｘ−ｙ√２）

　　ｘ^2＋３ｙ^2＝（ｘ＋ｙ√−３）（ｘ−ｙ√−３）

ですから，それぞれ２次体

　　Ｑ（ｉ），Ｑ（√−２），Ｑ（√２），Ｑ（√−３）

と関係していることは容易に想像されます．

　Ｑ（√ｄ）の整数環をいかに定義すべきかが確定すると，次に，いかなるｄに対してＡ（ω）は一意分解環になるのかが問題となります．

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【１】類数と素因数分解の一意性

　正の整数では素因数分解の一意性が成り立ちます．また，Ｑ（√−１）＝Ｑ（ｉ）の世界では，

　　χ（５）＝（−１／５）＝１　　（第１補充法則）

より，素数５は２つの相異なる素イデアルの積となり

　　５＝（２＋ｉ）（２−ｉ）

とただ１通りのイデアル分解されます．

　ところが，扱う数の範囲を広げると，既約因子の積に２通りに表されるような状況を生じます．たとえば，扱う数の範囲を整数から，

　　Ｚ（√−５）＝｛ａ＋ｂ√−５｜ａ，ｂは整数｝

にまで拡げると，

　　６＝２・３＝（１＋√−５）（１−√−５）

　２，３は素数ですし，

　　１＋√−５，１−√−５

はいずれも

　　ａ＋ｂ√−５

のなかには±１と±それ自身以外の約数をもたないので「素数」です．

　このように，もうこれ以上分解できないはずの素因数分解の仕方が２通り存在してしまう現象が起こります．Ｑ（√ｄ）の整数環Ａ（ω）が必ずしも一意分解環でないことに最初に気づいたのは，ディリクレでした．

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【２】類体論

　２次体における素数の分解

　　Ｑ（ｉ），Ｑ（√−２），Ｑ（√２），Ｑ（√−３），Ｑ（√３）

はいずれも類数が１であって，これらの体の整数環は一意分解整域となります．したがって，素数は素イデアルの積としてただ１通りに表されます．

　それに対して，Ｑ（√−５）やＱ（√−６）は類数が２であり，Ｚ（√−５）やＺ（√−６）は一意分解とは限らないことを意味しています．

　　６＝２・３＝（１＋√−５）（１−√−５）

　類数１では，ｐ＝ｘ^2＋ｙ^2，ｐ＝ｘ^2＋２ｙ^2，・・・の形に書ける素数の場合，Ｑ（√−１）やＱ（√−２）においてｐが完全分解するための必要十分条件

　　Ｑ（√−１）　←→　１（ｍｏｄ４）

　　Ｑ（√−２）　←→　１，３（ｍｏｄ８）

がそのままだったのに対して，類数２では，ｐ＝ｘ^2＋５ｙ^2，ｐ＝ｘ^2＋６ｙ^2，・・・の形に書ける素数に次のような現象が起こります．

　ｐ≠２，５でない素数とするとき

　　「ｐが２０で割ると１または９余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋５ｙ^2」

　ｐ≠２，３でない素数とするとき

　　「ｐが２４で割ると１または７余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋６ｙ^2」

　すなわち，Ｑ（√−５）において，ｐが完全分解するための必要十分条件

　　１，３，７，９（ｍｏｄ２０）

Ｑ（√−６）において，ｐが完全分解するための必要十分条件

　　１，５，７，１１（ｍｏｄ２０）

に較べて少しずれが生じてしまうのです．

　以上は２次形式論に移すと，どのようなｄに対して判別式Ｄ＝ｄあるいはｄ／４の形式の同値類がただ１つになっているかということです．ガウスは証明なしにではありますが，負のｄに対してＡ（ω）が単項イデアル環になっているものをすべて決定しています．この事実に最終的な証明が与えられたのが，１９６６年のベイカー・スタークの定理

　『類数が１となる虚２次体Ｑ（√ｄ）は

　　−ｄ＝１，２，３，７，１１，１９，４３，６７，１６３

しかない』

というわけです．

　ついでながら，ｈ＝２なる虚２次体Ｑ（√ｄ）は，

　　−ｄ＝５，６，１０，１３，１５，２２，３５，３７，５１，５８，９１，１１５，１２３，１８７，２３５，２６７，４０３，４２７

の１８個あります．

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