（ｐ，ｐ＋２）がともに素数である２数を双子素数という．（３，５）以外はすべて６ｎ±１型である．というか，５は６ｎ−１型の最初の最初の素数であり，２と３以外の素数は６ｎ＋１型か６ｎ−１型のどちらかである．

　このことから，双子素数（ｐ，ｐ＋２）について，ｍｏｄ３，ｍｏｄ５で考えた結果，ｐは３０ｎ＋１１型素数または３０ｎ＋１７型素数または３０ｎ＋２９型素数でなければならないことがわかった．→コラム「整数の積（その９）」

　さらに，１６１より大きいすべての数（１６１は含まない）は，６ｎ−１型素数の和として表されるという．たとえば，

　　１６２＝４７＋４１＋２９＋２３＋１７＋５

　なお，６ｎ＋１型の３００個以下の積は累乗数にならない．

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　１８８より大きいすべての数（１８８は含まない）は，最大で５つの平方数の和として表される．１８８の場合は，

　　１８８＝１００＋４９＋２５＋９＋４＋１

６つの相異なる平方数の和となる．

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　７７より大きいすべての数（７７は含まない）は，いくつかの相異なる整数の和に書いて，しかもそれらの逆数の和が１となるようにできる．たとえば，

　　７８＝２＋６＋８＋１０＋１２＋４０

　　１＝１／２＋１／６＋１／８＋１／１０＋１／１２＋１／４０

　　１００＝２＋６＋７＋８＋２１＋５６

　　１＝１／２＋１／６＋１／７＋１／８＋１／２１＋１／５６

　７７は５がだぶってしまう．

　　７７＝３＋４＋５＋５＋６０

　　１＝１／３＋１／４＋１／５＋１／５＋１／６０

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　ラグランジュの定理より，どんな自然数でも

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2

の形に書ける．

　　７＝１^2＋１^2＋１^2＋２^2

　　１５＝３^2＋２^2＋１^2＋１^2

では同じ平方数１^2が現れる．異なった平方数の和として書けない数は３１個あるとのことである．

　数が十分大きければ異なる平方数の和で表すことができる．１２８はこうならない最大の数で，その次の１２９は

　　１２９＝８^2＋７^2＋４^2

と異なる数の和である．

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［Ｑ］Σ１／２^n＝１／２＋１／４＋１／８＋・・・＝？

［Ａ］１

［Ｑ］Σｎ^3／２^n＝１／２＋８／４＋２７／８＋・・・＝？

［Ａ］２６

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