（その１１）では

　２０２個の連続する整数の積は平方数になりえない

　２３個の連続する整数の積は３乗数にも５乗数にもなりえない

　９個の連続する整数の積は累乗数になりえない

　２ｎ＋１型（奇数）の４８個の連続した積は累乗数にならない

　６ｎ＋１型の３００個の積は累乗数にならない

などをみたが，これらの数は歴史的な意味しかないらしい．

　ここでは，

［Ｑ］任意の１８個の連続した３桁の整数のなかに，各桁の数の和によって割り切れる数が少なくともひとつあることを示せ．

について調べてみたい．

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［Ａ］１８個の与えられた３桁の連続数のうちの１個は

　　１００ａ＋１０ｂ＋ｃ

で書くことができる．これがａ＋ｂ＋ｃで割り切れるものとする．

　解を調べてみると

　　１００，１０２，１０８，１１０，１１２，１１４，１１７，１２０，１２６，・・・，９９０，９９９．

　５７５から５９９間での数列を考えると，１７個ではうまくいかないことがわかる．また，１８の倍数ならはうまくいくこともわかる．たとえば，

　２１６は各桁の数の和は９であるが，偶数であるから１８の倍数である．

　８８２は各桁の数の和は１８であるから，１８の倍数である．

１８の倍数の各桁の数の和はいつでも９か１８である．

　１００ａ＋１０ｂ＋ｃを１８の倍数とすると，ａ＋ｂ＋ｃは９か１８か２７である．２７となるのは９９９の場合だけであるが，それは１８の倍数ではない．よって，ａ＋ｂ＋ｃは９か１８であって１８を割り切る．仮定より１００ａ＋１０ｂ＋ｃは１８の倍数であるから，１００ａ＋１０ｂ＋ｃはａ＋ｂ＋ｃで割り切れる．

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