奇数次の魔方陣について，（その１）とは別の作り方をしてみよう．

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　　［１，２，３］　［１，２，３］　［１１，２２，３３］

　　［３，１，２］＋［２，３，１］＝［３２，１３，２１］

　　［２，３，１］　［３，１，２］　［２３，３１，１２］

は３次のラテン方陣を組み合わせて，グレコ・ラテン方陣にしたものである．

　これを３進法で表したものが３次の魔方陣に対応している．わかりやすいようにでてきた数のすべてから１をひいた後，３進法を１０進法に直して１をたすと

　　［００，１１，２２］　［０，４，８］　［１，５，９］

　　［２１，０２，１０］→［７，２，３］→［８，３，４］

　　［１２，２０，０１］　［５，６，１］　［６，７，２］

となり，これで縦の並びも横の並びもその和はすべて１５となっている．しかし，対角線の和は１５になっていないからこれでは魔方陣とはいえない．

　　［００，１１，２２］

　　［２１，０２，１０］

　　［１２，２０，０１］

は０から２までの数字を使っている３進法の表である．第１行は００，１１，２２と並べる．次の行では１位が０→１，１→２，２→０とずらす．５位では０→２，１→０，２→１とずらす．第３行も同じようにずらしたものである．

　このようにして与えられた方陣について，２つの行，２つの列を入れ替えたりしても行和・列和に変化はないが，対角線に並ぶｎ個の数の組合せは変化するから，入れ替えをうまく施すと魔方陣を作ることができる．たとえば，

　　［４，９，２］

　　［３，５，７］

　　［８，１，６］

とすると，これで３次の魔方陣の出来上がりである．

　魔方陣は正方形上の数の配置であり，正方形をそれ自身に移す変換（合同変換）は８個ある．

　　［４，９，２］［８，３，４］［６，１，８］［２，７，６］

　　［３，５，７］［１，５，９］［７，５，３］［９，５，１］

　　［８，１，６］［６，７，２］［２，９，４］［４，３，８］

　　［８，１，６］［２，９，４］［６，７，２］［４，３，８］

　　［３，５，７］［７，５，３］［１，５，９］［９，５，１］

　　［４，９，２］［６，１，８］［８，３，４］［２，７，６］

しかし，３次の魔方陣の場合，本質的には中央の升目に５，４隅に偶数が配置されたものただひとつしかないことがわかる．

　ちなみに，合同変換に対して移り合うものを同じものとみなすと３次の魔方陣は１個，４次の魔方陣は８８０個，５次の魔方陣は約２．７５×１０^8個，６次の魔方陣は約１．７７×１０^19個あることが知られている．それにしてもこんなに多くの組合せ方があるとは驚きである．

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　５次の魔方陣では，０から４までの数字を使っている５進法の表になる．第１行は００，１１，２２，３３，４４と並べる．次の行では１位が０→１，１→２，２→３，３→４，４→０とずらす．５位では０→４，１→０，２→１，３→２，４→３とずらす．第３行以降も同じようにずらす．

　　［００，１１，２２，３３，４４］

　　［４１，０２，１３，２４，３０］

　　［３２，４３，０４，１０，２１］

　　［２３，３４，４０，０１，１２］

　　［１４，２０，３１，４２，０３］

　この表を１０進法に直すと

　　［００，０６，１２，１８，２４］

　　［２１，０２，０８，１４，１５］

　　［１７，２３，０４，０５，１１］

　　［１３，１９，２０，０１，０７］

　　［０９，１０，１６，２２，０３］

となって，桂馬飛びのような（準）魔方陣ができあがる．

　７次でも（奇数次ならば）同様に作ることができるが，偶数時では（残念ながら）同じやり方では作れないのである．

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