ｎ×ｎ個の升目に１〜ｎ^2までの数を入れ，各行各列の合計が

　　ｎ（ｎ^2＋１）／２

になるように並べたものが「魔方陣」である．よく知られたパズルであるから誰しも試行錯誤したことがあるに違いない．３次の魔方陣では，まず真ん中のコマに５を入れて・・・等々．

　ただし，ここでは対角線の和がそうなることは要求しないことにする．たとえば，

　　［１，５，９］

　　［８，３，４］

　　［６，７，２］

は３次の魔方陣であり，縦の並びも横の並びもその和はすべて１５となっている．

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　　［参］内田伏一「魔方陣にみる数のしくみ」日本評論社

にしたがって，奇数次魔方陣の一般的な作り方を示すと

(1)たとえば，中央升の真下に１を置く

(2)右斜め下の升に順に数を配置していく

(3)枠外に飛び出す場合は平行移動した升に数を配置する

(4)既に数が配置されている場合は，その升の左斜め下に次の数を配置する

　　［１１，２４，　７，２０，　３］

　　［　４，１２，２５，　８，１６］

　　［１７，　５，１３，２１，　９］

　　［１０，１８，　１，１４，２２］

　　［２３，　６，１９，　２，１５］

はこのようにして作った５次の魔方陣である．奇数次の魔方陣についてはこの方法で必ず魔方陣を作ることができる．

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　４次の魔方陣の場合，作り方はまったく異なっていて

(1)１〜１６までを順に並べる

(2)４隅と中央の４升を動かさず，他の数を中心に対して対称の位置にある升目に移動させる

　　［　１，　２，　３，　４］　　　［　１，１５，１４，　４］

　　［　５，　６，　７，　８］　→　［１２，　６，　７，　９］

　　［　９，１０，１１，１２］　　　［　８，１０，１１，　５］

　　［１３，１４，１５，１６］　　　［１３，　３，　２，１６］

　偶数次の魔方陣の作り方としては，４の倍数の場合（４ｋ：複偶数）と４で割り切れない場合（４ｋ＋２：単偶数）に分けられるのだが，一般的な４ｋ次の魔方陣の作り方は

(1)１から１６ｋ^2までの数を順に並べる

(2)４ｋ×４ｋの表を縦横に４等分し，１６個のｋ×ｋの表に分割する

(3)この１６個の小方陣について，４次の魔方陣を作ったときと同じ操作を加える

　　［　１，　２，６２，６１，６０，５９，　７，　８］

　　［　９，１０，５４，５３，５２，５１，１５，１６］

　　［４８，４７，１９，２０，２１，２２，４２，４１］

　　［４０，３９，２７，２８，２９，３０，３４，３３］

　　［３２，３１，３５，３６，３７，３８，２６，２５］

　　［２４，２３，４３，４４，４５，４６，１８，１７］

　　［４９，５０，１４，１３，１２，１１，５５，５６］

　　［５７，５８，　６，　５，　４，　３，６３，６４］

はこのようにして作った８次魔方陣の例である．

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　４ｋ＋２次の魔方陣は，４ｋ次の魔方陣を作ってからその周りを作るのであるが，たとえば６次の魔方陣の場合，

(1)１から３６までの数の中から中央にある１１から２６までを使って４次の魔方陣（すなわち，先に作った４次の魔方陣の各成分に１０加えたもの）を作る

(2)その外周に，上辺，下辺，左辺，右辺の６数の和が１１１となり，４隅に関しては中心に関して点対称の位置にある２数の和が３７，上下または左右に向き合った２数の和が３７となるように数を配置する

　　［　５，２８，３６，３５，　３，　４］

　　［３１，１１，２５，２４，１４，　６］

　　［　７，２２，１６，１７，１９，３０］

　　［　８，１８，２０，２１，１５，２９］

　　［２７，２３，１３，１２，２６，１０］

　　［３３，　９，　１，　２，３４，３２］

　これを一般化すると，ｎ＝４ｋ＋２の場合

(1)１〜ｎ^2＝（４ｋ＋２）^2までの数の中から中央にある２ｎ−１＝８ｋ＋３からｎ^2−２ｎ＋２＝１６ｋ^2＋８ｋ＋２までを使って４ｋ次の魔方陣を作る

(2)その外周に，上辺，下辺，左辺，右辺の６数の和がｎ（ｎ^2＋１）／２となり，４隅に関しては中心に関して点対称の位置にある２数の和がｎ^2＋１，上下または左右に向き合った２数の和がｎ^2＋１となるように数を配置する

　この作り方は１６８３年，和算家の関孝和が発表したものとのことであり，

　　［参］内田伏一「魔方陣にみる数のしくみ」日本評論社

にはｋ＝１，２，３すなわちｎ＝６次，１０次，１４次の魔方陣が紹介されている．

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