連続するｎ個の整数の交代和を調べてみると，

　　３！−２！＋１！＝５　　（素数）

　　４！−３！＋２！−１！＝１９　　（素数）

　　５！−４！＋３！−２！＋１！＝１０１　　（素数）

　　６！−５！＋４！−３！＋２！−１！＝６１９　　（素数）

　　７！−６！＋５！−４！＋３！−２！＋１！＝４４２１　　（素数）

　　８！−７！＋６！−５！＋４！−３！＋２！−１！＝３５８９９　　（素数）

はすべて素数です．このパターンはずっと続くのでしょうか？

　しかし，

　　９！−８！＋７！−６！＋５！−４！＋３！−２！＋１！＝３２６９８１＝７９×４１３９　　（非素数）

となって，破綻します．

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　それでは，

　　１^2＝１　　（三角数）

　　２^2−１^2＝３　　（三角数）

　　３^2−２^2＋１^2＝６　　（三角数）

　　４^2−３^2＋２^2−１^2＝１０　　（三角数）

　　５^2−４^2＋３^2−２^2＋１^2＝１５　　（三角数）

　最初のいくつかの値は正しくとも，同じパターンが続くとは限らないこともあるが，このパターンはずっと続く．証明せよ．

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　フェルマー数

　　３，５，１７，２５７，６５５３７，・・・

はその前のすべてのフェルマー数の積に２を足したものになっている．すなわち，

　　３＋２＝５

　　３・５＋２＝１７

　　３・５・１７＋２＝２５７

　　３・５・１７・２５７＋２＝６５５３７

あるが，このパターンはずっと続く．証明せよ．

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　たとえば，最初の２つのフェルマー数の積

　　（２＋１）（２^2＋１）＝２^3＋２^2＋２＋１

　これに２を足すと

　　（２＋１）（２^2＋１）＝２^3＋２^2＋２＋１＋１＋１

＝２^3＋２^2＋２＋２＋１

＝２^3＋２^2＋２^2＋１

＝２^3＋２^3＋１

＝２^4＋１　　（フェルマー数）

　以下，数学的帰納法で大きな積に対しても同じパターンがあてはまることを示せばよい．

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