長さ２３のゴレイ・コードにあとひとつつけ加えることによって長さ２４のコードが得られる．その自己同形群はコンウェイのモンスターである．

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【１】コンウェイのモンスター

　美しい怪物は，１９７３年，イギリスのケンブリッジ大学で誕生し，コンウェイによりモンスターと命名・愛称された．モンスターを線形群の中に埋め込むとすると，最低でも１９６８８３次の行列ＧＬ（１９６８８３，Ｒ）が必要になる．すなわち，１９６６８３次元空間上の線形変換の集まりとして初めてモンスターを捉えることができるのである．

　モンスターの発見と構成は２６個の散在型単純群の中でも特異な位置を占めていて，２６個の散在群のうち，２０個がモンスターの部分群として現れるのである．

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【２】ムーンシャイン予想

　有限単純群の分類の完成は，ムーンシャイン予想という予期せぬものを生み出しました．

　１９世紀の後半，デデキントとクラインは独立に保型関数

　　ｊ（ａｚ＋ｂ／ｃｚ＋ｄ）＝ｊ（ｚ）

を構成しました．ｊ（ｚ）は古典的なＳＬ（２，Ｚ）不変な保型関数です．

　ここで，ｑ＝ｅｘｐ（２πｉｚ）とおくと，

　　ｊ（ｚ）＝ｊ（ｑ）＝Σｃnｑ^n

　＝１／ｑ＋７４４＋１９６８８４ｑ＋２１４９３７６０ｑ^2＋８６４２９９９７０ｑ^3＋・・・

と展開されます．

　モンスターの既約表現の次数ｄnと係数ｃnを小さい方から数個あげると

　　ｄ0＝１

　　ｄ1＝１９６８８３　　　　　　ｃ1＝１９６８８４

　　ｄ2＝２１２９６８７６　　　　ｃ2＝２１４９３７６０

　　ｄ3＝８４２６０９３２６　　　ｃ3＝８６４２９９９７０

　このｑ展開に現れる係数１９６８８４とモンスターの既約表現の最小次数１９６８８３がほとんど等しいことに注目すると，ｑ，ｑ^2，ｑ^3等の係数は

　　ｃ1＝ｄ0＋ｄ1

　　ｃ2＝ｄ0＋ｄ1＋ｄ2

　　ｃ3＝２ｄ0＋２ｄ1＋ｄ2＋ｄ3

のようにモンスターの既約表現の簡単な線形結合となっていることを見いだされました．これは単なる偶然の一致なのでしょうか？

　ムーンシャイン予想の出発点の出発点であるマッカイ・トンプソン予想，コンウェイ・ノートン予想には，このような不思議な事実がたくさん収集されています．しかし，後にボーチャーズが，現代物理学の弦理論にその原点をもつ頂点作用素代数を用いることによって，これは単なる偶然の一致ではなく，そこに何か真実が隠されていることをつきとめます．

　ボーチャーズはその功績によりフィールズ賞を受賞するのですが，さらに，ボーチャーズは一般化されたカッツ・ムーディー・リー代数を導入して，マクドナルド恒等式を導いた論法を適用することにより，分母公式は

　　Ｊ（ｐ）−Ｊ（ｑ）＝ｐ^(ｰ1)Π（１−ｐ^mｑ^n）^c(mn)

となることを示しました．この等式は１９世紀のデデキントのイータ関数の変形のようでもあり，ヤコビの３重積公式にも結びついています．→コラム「もうひとつの５角数定理」参照

　これにより，ムーンシャイン予想の一応の解決となったわけですが，ムーンシャイン予想は保型関数論のように古典的なものでもあり，また，物理学の弦理論のように新しいものでもあったというわけです．

　リー型の単純群に比べると，散在型単純群は例外的なものにみえるのですが，ミステリアスなムーンシャイン現象を知ると，散在型単純群にも深い存在理由がありそうです．しかし，疑問は残ったままであり，今後は有限単純群の分類論の明瞭化・簡明化とともに，この神秘的現象の解明が研究課題とされています．

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